大庆铁人中学2018届高三上学期期中考试
文科数学
试卷满分:150分 答题时间:120分钟 组题人: 审核人: 2017年11月
第Ⅰ卷
一 选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.己知集合,则=
A. B. C. D.
2.已知i为虚数单位,复数z满足,则z =
A. B. C. D.
3.下面四个推理中,属于演绎推理的是( )
A. 观察下列各式:72=49,73=343,74=2401,…,则72015的末两位数字为43
B. 观察,可得偶函数的导函数为奇函数
C. 在平面上,若两个正三角形的边长比为1:2,则它们的面积比为1:4,类似的,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1:2,则它们的体积之比为1:8
D. 已知碱金属都能与水发生还原反应,钠为碱金属,所以钠能与水发生反应
4.在等差数列中,,,则( )
A.7 B.8 C.9 D.10
5.在等比数列中,已知,则( )
A.1 B.3 C.±1 D.±3
6.命题“∃x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是( )
A.∃x0∈ (0,+∞),ln x0≠x0-1 B.∃x0∉(0,+∞),ln x0=x0-1
C.∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1 D.∀x∉(0,+∞),ln x=x-1
7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.6 B.16
C. D.
8. 下列函数图象不是轴对称图形的是( )
A. B. y=cosx,x∈[0,2π] C. D.
9. 已知函数的部分图像如图所示,则( )
A. B. C. D.
10.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx-2在x=1处有极值,则ab的最大值是( )
A.2 B.3 C.6 D.9
11.已知,则a,b,c的大小关系为( )
A. a<b<c B. a<c<b C. b<a<c D. b<c<a
12.已知函数在区间上单调递增,则实数b的取值范围是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22~23题为选考题,考生根据要求作答
二 填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知函数,则不等式的解集是 .
14.已知中,,,则角
15.已知,则
16.已知实数x,y满足不等式组,且z = y - 2x的最小值为-2 ,则实数m=
三 解答题(17~21题每小题12分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知函数f(x)=sin 2x-cos2x.
(1)求f(x)的周期和最小值;
(2)将函数f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变),再把所得图像上的
所有点向上平移个单位,得到函数g(x)的图像,当时,求g(x)的值域.
18.在中,已知.
(1)求角A;
(2)若BC=2,△ABC的面积是,求AB.
19.已知函数,将其所有零点按从小到大的顺序排列,构成数列。
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,求数列的前n项和
20.已知函数.
(1)求的最小值;
(2)求证:x>0时,.
21.已知函数
(1)当时,求函数的单调区间.
(2)当且时,不等式在上恒成立,求k的最大值.
选考部分
请考生在第22~23题中任选一题作答,并将答题卡上的相应信息点涂黑。如果多做,按所做的第一题计分
22.选修4-4 坐标系与参数方程
(本题10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数)
(1)求曲线C的普通方程;
(2)在以O为极点,x正半轴为极轴的极坐标系中,直线l方程为
,已知直线l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|.
23.选修4-5 不等式选讲
(本题10分)已知函数f(x)=|x-1|-2|x+1|的最大值为m.
(1)求m;
(2)若a,b,c∈(0,+∞),a2+2b2+c2=2m,求ab+bc的最大值.
参考答案及评分标准
BADD ACDC BDAA
13. 14. 15. (或写成) 16. 6
17.
解:(1)f(x)=sin 2x-cos2x=sin 2x-(1+cos 2x)
=sin 2x-cos 2x-=sin(2x-)-, -------------4分
因此f(x)的最小正周期为π,最小值为-. -------------6分
(2)由条件可知g(x)=sin(x-). -------------8分
当时,有x-∈(,),从而sin(x-)∈
故g(x)在区间上的值域是. -------------12分
18.
解:(1)由A+B+C=π,得2sinBcosA=sin(A+C)=sinB, -------------2分
因为sinB≠0, -------------3分
所以cosA=, -------------4分
又因为A∈(0,π), -------------5分
所以; -------------6分
(2)由余弦定理,得BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=22,① -------------8分
因为△ABC的面积为S△ABC=,所以AB•AC=4,② -------------10分
由①、②组成方程组,解得AB=BC=2. -------------12分
19.
(1)由,得,又,所以,
从小到大排列,得 -------------4分
(2)由已知
所以,
-------------8分
所以,
所以 -------------12分
20.
解:(1)由f(x)=ex﹣2x+2(x∈R).得f′(x)=ex﹣2,
令f′(x)=ex﹣2=0得,x=ln2, -------------2分
列表如下
x
ln2
(ln2,+∞)
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增
-------------4分
故当x=ln2时,f(x)有极小值也是最小值为f(ln2)=2(2﹣ln2); -------------6分
(2)证明:设(x>0),则g′(x)=ex﹣2x+2,
由(1)知g′(x)=ex﹣2x+2有最小值g′(ln2)=2(2﹣ln2),
于是对于x>0,都有g′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上递增, -------------10分
而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0,
即x>0时,ex>x2﹣2x+1. -------------12分
21.
解:(1)∵a=2,∴f(x)=2x+xlnx,定义域为(0,+∞),
∴f′(x)=3+lnx,由f′(x)>0得到x>e﹣3,由f′(x)<0得到x<e﹣3,
∴函数f(x)=2x+xlnx的增区间为(e﹣3,+∞),减区间为(0,e﹣3). -------------4分
(2)当x>1时,x﹣1>0,故不等式k(x﹣1)<f(x)⇔k<,
即k<对任意x>1恒成立. -------------6分
令g(x)=,则g′(x)=,
令h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1),
则h′(x)=1﹣=>0⇒h(x)在(1,+∞)上单增.
∵h(3)=1﹣ln3<0,h(4)=2﹣ln4>0,
∴存在x0∈(3,4)使h(x0)=0,
即当1<x<x0时,h(x)<0,即g′(x)<0,
当x>x0时,h(x)>0,即g′(x)>0,
∴g(x)在(1,x0)上单减,在(x0,+∞)上单增. -------------10分
令h(x0)=x0﹣lnx0﹣2=0,即lnx0=x0﹣2,
g(x)min=g(x0)===x0∈(3,4),
∴k<g(x)min=x0且k∈Z,
即kmax=3. -------------12分
22.
解:(1)曲线C的参数方程为(α为参数),
x,y平方相加可得:x2+y2=2,① -------------5分
(2)直线l方程为ρsin(﹣θ)+1=0化为普通方程为:x﹣y+1=0,②
则圆心(0,0)到直线l的距离为
所以 -------------10分
23.解:(1)当x≤-1时,f(x)=3+x≤2;
当-1