大庆铁人中学 2015级高三·上学期期中考试
数学(理)试题
考试时间:2017年 11月 22日
答题时长(分钟):120 分值:150 命题人: 审题人:
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一
个是符合题目要求的.)
1. 已知集合 A={x|x2-2x-3≤0},B={x|4x≥2},则 A∪B=( )
A. ]3,
2
1[ B. )3,
2
1[ C. )3,( D.
),1[
2. 已知复数 iz
2
3
2
1
,则 || zz
A . i
2
3
2
1
B . i
2
3
2
1
C . i
2
3
2
1
D
i
2
3
2
1
3. 已知向量 )1,2(),2,1(),1,3( cba ,若 ),,( Ryxcybxa 则 yx ( )
2.A 1.B 0.C
2
1.D
4.已知函数 f(x)= 322 xx ,则该函数的单调递增区间为 ( )
A. (-∞,1] B. [3,+∞) C. (-∞,-1] D. [1,+∞)
5.已知 )
3
sin(2)( xxf ,则“∀x∈R,f(x+π)=f(x)”是“ω=2”的( )
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
6.若 na 是等差数列, 0103 aa , 011 S ,则在 11321 ,,, SSSS 中最小的是( )
A . 4S B . 5S C . 6S D . 9S
7.已知 sin
α-π
4 =
7 2
10
,cos 2α= 7
25
,则 sin α=( )
A.4
5
B.-
4
5
C.3
5
D.-
3
5
8.P0(x0,y0)是曲线 y=3ln x+x+k(k∈R)上的一点,曲线在点 P0处的切线方程
为 4x-y-1=0,则实数 k的值为( )
A.2 B.-2 C.-1 D.-4
9.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三
角形组成,正方形的边长为 2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各
个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
10.已知 )(xf 是定义在 R上的偶函数,且在 0, 上是增函数设 7log4fa ,
3log
2
1fb ,
6.02.0fc ,则 cba ,, 的大小关系是( )
A.. abc B. acb C.. cab D.. cba
11. 已知△ABC中, | | 10, 16,BC AB AC D
为边 BC的中点,则 | |AD
等于
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
12.已知函数
10,23
,01,3
1
1
)(
2 xxx
x
xxg ,若方程 g(x)-mx-m=0有且仅有两个不等的实
根,则实数 m的取值范围是( )
A. )2,0[]2,
4
9( B. ]2,0[]2,
4
11(
C. ]2,0[]2,
4
9( D. )2,0[]2,
4
11(
第(II)卷 (非选择题,共 90分)
二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上).
13.函数 2( ) 3 log 6f x x x 的定义域是________.
14. 已知数列{ }na 的前 n项和为 nS ,且 2,1 11 nn Saa ,则 na ________.
15.已知△ABC是边长为 2的等边三角形,设点D,E分别是 AB ,BC的中点,连接DE并
延长到点 F ,使得 ,2EFDE 则 BCAF _________________.
16.已知函数 )(xf 的导函数为 )(' xf ,若函数 )(xf 满足
x
xxfxxf ln)()(' ,
且
e
ef 1)( ,则不等式: exefxf )1()1( 的解集为__________________
三.解答题(本大题共 6 小题,第 17 题 10 分,其余每题 12 分,解题写出详细必要的解答过程)
17.(本小题满分 10 分)
已知数列{ }na 的前 n项和为 nS ,且
NnnnSn (,22
)
(Ⅰ)求数列{ }na 的通项公式.
(Ⅱ)设
1
1
nn
n aa
b ,求数列{ }nb 的前 n项和 nT .
18.(本小题满分 12 分)
设函数 )
2
sin()
6
sin()( xxxf ,其中 0<ω<3,已知 0)
6
(
f .
(Ⅰ)求ω;
(Ⅱ)将函数 )(xfy 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍(纵坐标不变),再将得
到的图象向左平移 4
个单位,得到函数 )(xgy 的图象,求 )(xg 在 ]
4
3,
4
[
上的最小值.
19.(本小题满分 12 分)
已知{an}为等差数列,前 n项和为 Sn(n∈N+),{bn}是首项为 2的等比数列,且公比大于
0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{a2nb2n-1}的前 n项和 nT (n∈N+).
20.(本小题满分 12 分)
已知向量
2( 3 cos ,1), (sin ,cos 1)m x n x x
,函数
1( )
2
f x m n
,
(Ⅰ)若 30, ,
4 3
x f x
,求 cos2x的值;
(Ⅱ)在 ABC 中,角 , ,A B C对边分别是 , ,a b c,且满足 2 cos 2 3b A c a ,当B取最
大值时, 1,a ABC 面积为
4
3
,求
sin sin
a c
A C
的值.
21. (本小题满分 12 分)
已知函数 x
x
axaxf
22ln)(
(Ⅰ)讨论 )(xf 的单调性;
(Ⅱ)若对任意 m,n∈(0,e)且 m≠n,有 1)()(
nm
nfmf
恒成立,求实数 a的取值范
围.
22.(本小题满分 12 分)
已知函数 .)( 2 axxexf x .
(Ⅰ)若曲线 )(xfy 在点 x=0处的切线斜率为 1,求函数 f(x)在[0,1]上的最值;
(Ⅱ)令 )(
2
1)()( 22 axxfxg ,若 0x 时, 0)( xg 恒成立,求实数 a的取值范
围;
(Ⅲ)当 0a 且 0x 时,证明: 1ln)( 2 xxxxexxf .
大庆铁人中学 2015级高三·上学期期中考试
数学(理)试题答案
一、选择题: DDCB CCCA BCDA
二、填空题:
13 ]6,3[ 14.
)2(23
)1(,1
2 n
n
a
nn 15.
2
1
16 ),0( e
三.解答题:
17、(5+5)解:当 1n 时, 31 a
当 2n 时, 1nnn SSa 12 n
满足 1n , 12 nan
(2)由 an=2n+1可知
bn=
1
anan+1=
1
(2n+1)(2n+3)=
1
2
1
2n+3.
设数列{bn}的前 n项和为 Tn,则
Tn=b1+b2+…+bn=
1
2
1
-
1
2n+3=
n
3(2n+3).=
)32(3
]
32
1
3
1[
2
1
n
n
n
18、(6+6)解:(Ⅰ)函数 f(x)=sin(ωx- )+sin(ωx- )
=sinωxcos -cosωxsin -sin( -ωx) = sinωx-cosωx = sin(ωx- ),
又 f( )= sin( ω- )=0, ∴ ω- =kπ,k∈Z, 解得ω=6k+2,
又 0<ω<3, ∴ω=2;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)= sin(2x- ),
将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍(纵坐标不变),得到函数 y= sin
(x- )的图象; 再将得到的图象向左平移 个单位,得到 y= sin(x+ - )的图象,
∴函数 y=g(x)= sin(x- ); 当 x∈[- , ]时,x- ∈[- , ],
∴sin(x- )∈[- ,1], ∴当 x=- 时,g(x)取得最小值是- × =-.
19、(6+6)解:(1) )
6
2sin()(
xxf ,
3
2
6
2
64
0
xx
6
5
6
2
4
3,,
46
2
62
2
3
3
2
1
xorx
3
6)
6
2cos(
46
2
6
xx
6
323]
6
)
6
2cos[(2cos
xx
(2)2)由 2bcos A≤2c-a,得 2sin Bcos A≤2sin C-sin A,
所以 2sin Bcos A≤2sin(A+B)-sin A,
所以 2sin Bcos A≤2(sin Acos B+cos Asin B)-sin A,
所以 2sin Acos B≥sin A,所以 cos B≥
2
3
,
B0 得
6
0
B 有 3,
4
3,30.1 cSBa
由余弦定理的 ,1b 且
sin sin
a c
A C
2
sin
B
b
20.(5+7) 解:(I)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q.
由已知 b2+b3=12,得 b1(q+q2)=12,而 b1=2,所以 q+q2-6=0.
又因为 q>0,解得 q=2.所以,bn=2n. 由 b3=a4-2a1,可得 3d-a1=8①.
由 S11=11b4,可得 a1+5d=16②, 联立①②,解得 a1=1,d=3,由此可得 an=3n-2.
所以,数列{an}的通项公式为 an=3n-2,数列{bn}的通项公式为 bn=2n.
(II)设数列{a2nb2n-1}的前 n项和为 Tn,
由 a2n=6n-2,b2n-1= 4n,有 a2nb2n-1=(3n-1)4n,
故 Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)4n,
4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-1)4n+1,
上述两式相减,得-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)4n+1
= =-(3n-2)4n+1-8 得 Tn= .
所以,数列{a2nb2n-1}的前 n项和为 .
21、(6+6)解:(1)由题意知 2
' )2)(()(
x
axaxxf
①当 a=0时,f′=1>0,所以 f在上单调递增;
②当 a>0时,由 f′