高三数学(文科)试题
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由得:,结合可得,故选B.
2. 下列函数中,既是奇函数,又在其定义域上单调递减的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对于A:为非奇非偶函数,该选项不正确;对于B:在内单调递减,在内单调递减,但在整个定义域内不具备单调性,该选项不正确;对于C:为奇函数且为减函数,该选项正确;对于D:在定义域内不具备单调性,该选项不正确,故选C.
3. 设,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由不等式的性质,,可推出,而当时,例如取,,显然不能推出,故是的充分不必要条件,故选A.
4. 下列说法正确的是( )
A. 命题“3能被2整除”是真命题
B. 命题“,”的否定是“,”
C. 命题“47是7的倍数或49是7的倍数”是真命题
D. 命题“若都是偶数,则是偶数”的逆否命题是假命题
【答案】C
【解析】对于A:“3能被2整除”显然不正确;对于B:由于命题“,”的否定是,故B不正确;对于C:47是7的倍数或49是7的倍数是复合命题或的形式,其中:47是7的倍数为假,:49是7的倍数为真,其中为真,故命题:47是7的倍数或49是7的倍数为真,故C正确;对于D:命题“若,都是偶数,则是偶数”为真命题,由原命题与逆否命题的等价性得,其逆否命题也为真命题,故D不正确;故选C.
5. 函数的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】要使函数有意义需满足解得,故函数的定义域为,故选D.
6. 若函数 的部分图象如图所示,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由函数的部分图象知,,,解得;再由五点法作图可得,解得;故,则,故选A.
点睛:本题主要考查利用的图象特征,由函数的部分图象求解析式,理解解析式中的意义是正确解题的关键,属于中档题.为振幅,有其控制最大、最小值,控制周期,即,通常通过图象我们可得和,称为初象,通常解出,之后,通过特殊点代入可得,用到最多的是最高点或最低点.
7. 设变量满足约束条件,则的最大值为( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】C
【解析】约束条件,不等式组表示的平面区域如图所示,
当直线过点A时,取得最大值,由,可得时,在轴上截距最小,此时取得最大值10,故选C.
点睛:本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.
8. 已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
9. 已知函数,则函数有( )
A. 最大值为0 B. 最小值0 C. 最大值 D. 最小值
【答案】B
【解析】∵,∴,则,即函数有最小值0,当且仅当,即时取最值,故选B.
点睛:本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可.(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.
10. 函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由得:,故其为偶函数,图象关于轴对称,故排除D;,故排除A;当时,,,可得时,函数单调递减,当时,,函数单调递增,故排除C,故选B.
点睛:本题考查函数的图象的判断与应用,考查函数的零点以及特殊值的计算,是中档题;已知函数解析式,选择其正确图象是高考中的高频考点,主要采用的是排除法,最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质,同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号,其中包括等.
11. 设是所在平面内一点,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由向量的运算法则可得:,,∵,∴,整理可得,即,故选C.
12. 设函数的导函数为,且在上恒成立,则,,的大小关系为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】设函数,则,因为在上恒成立,故当时,恒成立,所以函数在时,单调递减,所以,即成立,故选D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13. 已知函数则__________.
【答案】-3
【解析】当时,,故;当时,,故,故答案为.
14. 已知数列的前项和为,若,则__________.
【答案】
【解析】∵,则,故答案为.
15. 已知向量,,,且,,则__________.
【答案】
【解析】由,得解得,故,则,故答案为.
16. 函数的零点的个数为__________.
【答案】8
【解析】因为函数的零点个数就是对应的函数与
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 在中,内角的对边分别为,且,.
(Ⅰ)若,求的值;
(Ⅱ)若,求的面积.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)直接在中运用正弦定理即可得出结论;(Ⅱ)由已知及余弦定理可求,进而利用三角形面积公式即可计算得解.
试题解析:(Ⅰ)在中,由正弦定理得,解得
,
所以.
(Ⅱ)由余弦定理,得,所以,因为,所以,所以的面积为.
18. 设等差数列的前项和为,,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若从数列中依次取出第2项,第4项,第8项,…,第项,…,按原来顺序组成一个新数列,求数列的前项和.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)利用等差数列通项公式、前项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出数列的通项公式;(Ⅱ)推导出,由此能求出数列的前项和.
试题解析:(Ⅰ)依题意得,解得,所以,故数列的通项公式为.
(Ⅱ)由已知得,所以,故数列的前项和.
点睛:本题主要考查了等差数列,等比数列的概念,以及数列的求和,属于高考中常考知识点,难度不大;常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式,分组求和类似于,其中和分别为特殊数列,裂项相消法类似于,错位相减法类似于,其中为等差数列,为等比数列等.
19. 已知函数在点处取得极值.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)求函数的单调区间.
【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)函数的单调递增区间是,;单调递减区间是.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出函数的导数,得到关于,的方程组,解出即可;(Ⅱ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,即可求出函数的单调区间.
试题解析:(Ⅰ),由题意得,即,解得,经检验知当,时,函数在处取得极值,所以,.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知所以,由,解得或,故函数在区间,上单调递增;由,解得,故函数在区间上单调递减.所以函数的单调递增区间是,;
单调递减区间是.
20. 已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)当时,求函数的最大值与最小值.
【答案】(Ⅰ)函数的单调递增区间是,;(Ⅱ)最大值,函数取最小值.
【解析】试题分析:(Ⅰ)利用降幂公式及辅助角公式把函数化为正弦型函数,根据正弦函数的单调性求出函数的单调递增区间;(Ⅱ)求出时,的取值范围,即可得出函数最大、最小值.
试题解析:(Ⅰ),由,,解得,,所以函数
的单调递增区间是,.
(Ⅱ)因为,所以,当,即时,函数取最大值;当,即时,函数取最小值.
21. 设数列的前项和为,且,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,求数列的前项和.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据可推导出,验证初项,从而数列是首项为2,公比为2的等比数列,由此能求出数列的通项公式;(Ⅱ)由,得,利用错位相减法即能求出数列的前项和.
试题解析:(Ⅰ)当时,,当时,,①
,②,①—②得,,又,所以,所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,所以 ,①, ,②,①—②得,所以.
22. 已知函数.
(Ⅰ)若曲线在点处的切线与直线垂直,求实数的值;
(Ⅱ)若函数在其定义域上是增函数,求实数的取值范围;
(Ⅲ)当时,函数的两个极值点为,且,若不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出函数的导数,计算的值,求出的值即可;(Ⅱ)求得导数,由题意可得在恒成立,即有的最小值,运用基本不等式可得最小值,即可得到的范围;(Ⅲ)函数在上有两个极值点,方程有两个不等的正根,求得两根,求得范围;不等式恒成立即为,而,设,求出导数,判断单调性,即可得到的最小值,即可求得的范围.
试题解析:(Ⅰ),所以,依题意知,,所以.
(Ⅱ)函数的定义域是,若函数在其定义域上是增函数,则在区间上恒成立,即在区间上恒成立,因为,当且仅当时等号成立,所以,因此实数的取值范围是.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,,因为的两个极值点为,且,所以是方程的两个根,所以,,不等式恒成立,即恒成立,而 ,由.所以,解得或,因为,,所以舍去,所以.令,,,所以函数在上是减函数,所以,故.
点睛:本题考查导数的运用:求切线方程和单调区间、极值,主要考查导数的几何意义,同时考查函数的单调性的运用,以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值或范围,考查恒成立问题,正确分离参数是关键,也是常用的一种手段.通过分离参数可转化为或恒成立,即或即可,利用导数知识结合单调性求出或即得解.