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高三数学(文科)试题
德州联考预测命制
考试范围:一轮复习;考试时间:120分钟;命题单位:德州市教科院
题号
一
二
三
总分
得分
距离德州期中考试还有14天,请同学们认真复习! 注意:本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题,所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题,所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效,不予记分。
本题共12题,计60分
选择题(本大题共12小题,共60.0分)
1. 已知f(x)=ax2+(b-a)x+c-b(其中a>b>c),若a+b+c=0,x1、x2为f(x)的两个零点,则|x1-x2|的取值范围为( )
A. (,2) B. (2,2) C. C. (1,2) D. (1,2)
【答案】A
【解析】∵ ,
∴,,
∴
由根与系数的关系可得,
∵,
∴,
∴
∴
∴,故选A
2. 的图象如图所示,为了得到f(x)的图象,则只要将g(x)=cos2x的图象( )
A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
【答案】A
【解析】根据的图象可得,,,则
∴
根据五点法作图可得,则
∴
故将函数向右平移个单位长度,可得
故选A
3. 已知向量,夹角为,||=2,对任意x∈R,有|+x|≥|-|,则|t-|+|t-|(t∈R)的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对任意x∈R,有|+x|≥|-|,两边平方得,则
即有,即,则
∵ 向量,夹角为,||=2
∴
∴
∴
设,,建立平面直角坐标系,如图所示:
则,
∴,
∴它表示点与点、的距离之和的2倍
当三点共线时,取得最小值,即,故选D
4. 下列关于正弦定理的叙述中错误的是( )
A. 在△ABC中,a:b:c=sinA:sinB:sinC B. 在△ABC中,若sin2A=sin2B,则A=B
C. 在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B;若A>B,则sinA>sinB D. 在△ABC中,=
【答案】B
【解析】对于A,在中,由正弦定理可得,,,所以,故正确;对于,若,则或,可得或,故错误;对于,若,根据正弦定理,,得,再根据大边对大角可得,故正确;对于,由,再根据比例式的性质可得,故正确.
5. a、b、c>0,“lna、lnb、lnc成等差数列”是“2a、2b、2c成等比数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】试题分析:从三个数字成等差数列入手,整理出a,b,c之间的关系,两个条件所对应的关系不同,这两者不能互相推出.
解:lna、lnb、lnc成等差数列
∴2lnb=lna+lnc
∴b2=ac
当2b=a+c时,
2a、2b、2c成等比数列,
这两个条件不能互相推出,
∴是既不充分又不必要
故选D.
考点:等比关系的确定.
6. 在等差数列{an}中,a1>0,a2012+a2013>0,a2012•a2013<0,则使Sn>0成立的最大自然数n是( )
A. 4025 B. 4024 C. 4023 D. 4022
【答案】B
【解析】∵ 为等差数列,,a2012+a2013>0,a2012•a2013<0
∴,
∴
∵,
∴
∵,
∴
∴使Sn>0成立的最大自然数n是4024,故选B.
7. 已知实数x,y满足,则的取值范围是( )
A. B. [1,5] C. D. [0,5]
【答案】C
【解析】由约束条件作出可行域如图所示:
可得,
的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率
∵,
∴的取值范围为,故选C
点睛:本题为线性规划问题.掌握常见的几种目标函数的最值的求法:①,利用截距的几何意义;②,利用斜率的几何意义;③,利用距离的几何意义.往往是根据题中给出的不等式,求出的可行域,再利用的条件约束,作出图形,数形结合,求得目标函数的最值.
8. 对任意实数x,若不等式4x-m•2x+1>0恒成立,则实数m的取值范围是( )
A. m<2 B. -2<m<2 C. m≤2 D. -2≤m≤2
【答案】A
【解析】试题分析:由已知(2x)2﹣m•2x+1>0恒成立,由此利用根的判别式能求出实数m的取值范围.
解:∵对任意实数x,不等式4x﹣m•2x+1>0恒成立,
∴(2x)2﹣m•2x+1>0恒成立,
∴△=m2﹣4<0,
解得﹣2<m<2.
故选:B.
考点:指、对数不等式的解法.
9. 某企业生产A、B、C三种家电,经市场调查决定调整生产方案,计划本季度(按不超过480个工时计算)生产A、B、C三种家电共120台,其中A家电至少生产20台,已知生产A、B、C三种家电每台所需的工时分别为3、4、6个工时,每台的产值分别为20、30、40千元,则按此方案生产,此季度最高产值为( )千元.
A. 3600 B. 350 C. 4800 D. 480
【答案】A
【解析】设本季度生产家电台、B家电台,则生产家电C:台,总产值为千元,由题意可列表格:
家电名称
A
B
C
工时
3
4
6
产值(千元)
20
30
40
则根据题意可得
由题意得满足,即,画出可行域如图所示:
解方程组,得,即
作出直线,平移过点时,目标函数有最大值,,故选A
10. 设a,b∈(0,+∞),则“a>b”是“logab<1”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】当时,,反之取满足了,但是不满足,所以“a>b”是“logab<1”的既不充分也不必要条件,故选D
11. 某校高二(1)班每周都会选出两位“迟到之星”,期中考试之前一周“迟到之星”人选揭晓之前,小马说:“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”,小赵说:“一定没有我,肯定有小宋”,小宋说:“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”,小谭说:“小赵说的对”.已知这四人中有且只有两人的说法是正确的,则“迟到之星”是( )
A. 小赵、小谭 B. 小马、小宋 C. 小马、小谭 D. 小赵、小宋
【答案】A
【解析】小马说:“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生” ,如果小马说假话,则小赵、小宋、小谭说的都是假话,不合题意,所以小马说的是真话;小赵说:“一定没有我,肯定有小宋”是假话,否则,小谭说的是真话,这样有三人说真话,不合题意;小宋说:“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”是真话;小谭说:“小赵说的对”,是假话;这样,四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的,且“迟到之星”是小赵和小谭,故选A.
12. 函数f(x)在实数集R上连续可导,且2f(x)-f′(x)>0在R上恒成立,则以下不等式一定成立的是( )
A. B. C. f(-2)>e3f(1) D. f(-2)<e3f(1)
【答案】A
【解析】令,则
∵2f(x)-f ′(x)>0在R上恒成立
∴在R上恒成立,在R上单调递减
∴,即 ,,即
故选A
点睛:解答本题的关键是构造新函数,主要考查导数运算法则的逆用.根据含导函数的不等式构造原函数时要注意以下几种类型考虑:①原函数是函数和差的组合;②原函数是函数乘除的组合;③原函数是函数与的乘除的组合;④原函数是函数与的乘除的组合;⑤原函数是函数与的乘除的组合;⑥原函数是函数与的乘除的组合.
二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13. 设α为锐角,若sin(α+)=,则cos(2α-)= ______ .
【答案】0
【解析】由于,因为锐角,若,故,所以,故应填答案.
点晴:三角变换是高中数学的重要内容之一,也是高考必考的重要考点.本题以锐角满足的等式为背景,考查的是诱导公式和三角变换中的变角的技巧.变角是三角变换的精髓,也解决问题的难点,本题先用诱导公式将化为,进而运用倍角公式化为,从而使得问题巧妙获解,体现了角变换的要义.
14. 设函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的图象关于直线对称,它的周期为π,则下列说法正确是 ______ .(填写序号)
①f(x)的图象过点;
②f(x)在上单调递减;
③f(x)的一个对称中心是;
④将f(x)的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y=2sinωx的图象.
【答案】③
【解析】∵的周期为π
∴
又∵的图象关于直线对称
∴
∵0<φ<
∴
∴
当时,,即图象过点,故①错误;
由得
∴在上单调递减,故②错误;
由得,故当时,的对称点为,故③正确;
将的图象向右平移个单位长度得,故④错误;
故答案为③
15. 已知||=||=2,与的夹角为60°,则+在方向上的投影为 ______ .
【答案】3
【解析】∵||=||=2,与的夹角为60°
∴
∴
∴+在方向上的投影为,故答案为3
16. 已知函数f(x)=x-sinx-cosx的图象在点A(x0,f(x0))处的切线斜率为1,则tanx0的值为 ______ .
【答案】
【解析】函数的导数f′(x)=-cosx+sinx,由f′(x0)=-cosx0+sinx0=1得,-cosx0+sinx0=1,即sin(x0-)=1,所以x0-=2kπ+,k∈Z,即x0=2kπ+,k∈Z,所以tanx0=tan(2kπ+)=tan=-.
三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)
17. 已知二次函数f(x)=x2+ax+b+1,关于x的不等式f(x)-(2b-1)x+b2<1的解集为(b,b+1),其中b≠0.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)令g(x)=,若函数φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在极值点,求实数k的取值范围,并求出极值点.
【答案】(I)a=-2;(II)见解析.
【解析】试题分析:(1)令f(b)-(2b-1)b+b2=1即可解出a;(2)求出φ′(x),令φ′(x)=0,讨论b的符号得出两根与区间(0,1)的关系,从而得出φ(x)的单调性,得出极值的情形.
试题解析:(I)∵f(x)﹣(2b﹣1)x+b2<1的解集为(b,b+1),
即x2+(a﹣2b+1)x+b2+b<0的解集为(b,b+1),
∴方程x2+(a﹣2b+1)x+b2+b=0的解为x1=b,x2=b+1,
∴b+(b+1)=﹣(a﹣2b+1),解得a=﹣2.
(II)φ(x)得定义域为(1,+∞).
由(I)知f(x)=x2﹣2x+b+1,∴g(x)==x﹣1+,
∴φ′(x)=1﹣﹣=,
∵函数φ(x)存在极值点,∴φ′(x)=0有解,
∴方程x2﹣(2+k)x+k﹣b+1=0有两个不同的实数根,且在(1,+∞)上至少有一根,
∴△=(2+k)2﹣4(k﹣b+1)=k2+4b>0.
解方程x2﹣(2+k)x+k﹣b+1=0得x1=,x2=
(1)当b>0时,x1<1,x2>1,
∴当x∈(1,)时,φ′(x)<0,当x∈(,+∞)时,φ′(x)>0,
∴φ(x)在(1,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,
∴φ(x)极小值点为
(2)当b<0时,由△=k2+4b>0得k<﹣2,或k>2,
若k<﹣2,则x1<1,x2<1,
∴当x>1时,φ′(x)>0,∴φ(x)在(1,+∞)上单调递增,不符合题意;
若k>2,则x1>1,x2>1,
∴φ(x)在(1,)上单调递增,在(,)上单调递减,在(,+∞)单调递增,
∴φ(x)的极大值点为,极小值点为.
综上,当b>0时,k取任意实数,函数φ(x)极小值点为;
当b<0时,k>2,函数φ(x)极小值点为,极大值点为
18. 如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B点在AM上,D点在AN上,且对角线MN过点C,已知AB=2米,AD=1米.
(1)要使矩形AMPN的面积大于9平方米,则DN的长应在什么范围内?
(2)当DN的长度为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.
【答案】(1)(0,)∪(2,+∞);(2)矩形花坛的面积最小为8平方米.
【解析】试题分析:(1)由,列出函数关系式,通分化成标准形式,再求分式不等式的解集;(2)化简矩形的面积,利用基本不等式,即可求解.
试题解析:(1)设DN的长为x(x>0)米,则|AN|=(x+1)米,
∵,∴|AM|=,∴S矩形AMPN=|AN|•|AM|=.
由S矩形AMPN>9得>9,又x>0得2x2-5x+2>0,解得0<x<或x>2
即DN的长的取值范围是(0,)∪(2,+∞).(单位:米)
(2)因为x>0,所以矩形花坛的面积为:
y==2x++4≥4+4=8,当且仅当2x=,即x=1时,等号成立.
答:矩形花坛的面积最小为8平方米.
点睛:本题通过对相似的理解,列出面积公式,再结合实际背景得到变量的取值范围;在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用.
19. 已知向量,,设.
(Ⅰ)若f(α)=2,求的值;
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-b)cosC=ccosB,求f(A)的取值范围.
【答案】(I);(II)(2,3).
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据利用向量的数量积的运用求解的解析式,,找出与的关系即可得解;(Ⅱ)利用正弦定理化简,求解角的大小.结合三角函数的性质求解即可.
试题解析:(Ⅰ)
,,.
(Ⅱ),,,, ,,,, ,取值范围为.
20. 已知{an}是等比数列,an>0,a3=12,且a2,a4,a2+36成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设{bn}是等差数列,且b3=a3,b9=a5,求b3+b5+b7+…+b2n+1.
【答案】(1)an=3×2n-1;(2)6n2+6n.
【解析】试题分析:(1)由a2,a4,a2+36成等差数列,知2a4=a2+a2+36,再由{an}是等比数列,且an>0,a3=12,故2q2-3q-2=0,由此能求出数列{an}的通项公式;(2)由{bn}是等差数列,根据b3=a3,b9=a5,可得{bn}的通项公式,再根据等差数列的求和公式即可得出.
试题解析:(1)设等比数列{an}的公比为q,
∵an>0,可得q>0.
∵a2,a4,a2+36成等差数列.∴2a4=a2+a2+36,
∴2a3q=2+36,即2×12q=2×+36,化为:2q2-3q-2=0,
解得q=2.
∴=12,解得a1=3.
∴an=3×2n-1.
(2)由(1)可得:
b3=a3=12,b9=a5=3×24=48.
设等差数列{bn}的公差为d,则b1+2d=12,b1+8d=48,
解得b1=0,d=6.
∴bn=6(n-1).
∴b2n+1=12n.
∴b3+b5+b7+…+b2n+1=12×=6n2+6n.
21. 已知命题p:x2-8x-20≤0,命题q:(x-1-m)(x-1+m)≤0(m>0);若q是p的充分而不必要条件,求实数m的取值范围.
【答案】(-∞,3].
【解析】试题分析:分别求出命题和所表示的范围,由q是p的充分而不必要条件,根据小推大原则转化为集合与集合间的子集关系,列出不等式组即可得出m的取值范围.
试题解析:命题p:x2-8x-20≤0,解得:-2≤x≤10.
命题q:(x-1-m)(x-1+m)≤0(m>0),解得:1-m≤x≤1+m.
若q是p的充分而不必要条件,∴,解得m≤3.
∴实数m的取值范围是(-∞,3].
22. 设函数f(x)=(1-x2)ex.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.
【答案】(1)f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)上单调递减,在(-1-,-1+)上单调递增;(2)[1,+∞).
【解析】试题分析:(1)求导,令,求出极值点,利用导函数的符号,即可求出的单调性;(2)先化简,由,对分类讨论:①当时,构造新函数,再对求导,得的单调性,即可得的取值范围;②当时,构造新函数,得的单调性,再由试根法即可得出结论;③当时,利用试根法即可得出结论;然后得出的取值范围.
试题解析:(1)因为f(x)=(1-x2)ex,x∈R,
所以f′(x)=(1-2x-x2)ex,
令f′(x)=0可知x=-1±,
当x<-1-或x>-1+时f′(x)<0,当-1-<x<-1+时f′(x)>0,
所以f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)上单调递减,在(-1-,-1+)上单调递增;
(2)由题可知f(x)=(1-x)(1+x)ex.下面对a的范围进行讨论:
①当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)ex,则h′(x)=-xex<0(x>0),
因此h(x)在[0,+∞)上单调递减,
又因为h(0)=1,所以h(x)≤1,
所以f(x)=(1-x)h(x)≤x+1≤ax+1;
②当0<a<1时,设函数g(x)=ex-x-1,则g′(x)=ex-1>0(x>0),
所以g(x)在[0,+∞)上单调递增,
又g(0)=1-0-1=0,
所以ex≥x+1.
因为当0<x<1时f(x)>(1-x)(1+x)2,
所以(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),
取x0=∈(0,1),则(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,
所以f(x0)>ax0+1,矛盾;
③当a≤0时,取x0=∈(0,1),则f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1,矛盾;
综上所述,a的取值范围是[1,+∞).
点睛:函数的单调区间的求法一般是先求导再研究导函数的正负;关于含参量恒成立问题有两种方法,一是分离含参量,二是带参量计算,先对参数进行分类讨论,构造新函数,判断函数的单调性,即可求解.