高三期中质量检测理科数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.下列命题中的假命题是（ ）
A．， B．
C．， D．，
3.下列函数中，既是奇函数又是区间上的减函数的是（ ）
A． B． C． D．
4.数列为等差数列，是其前项的和，若，则（ ）
A． B． C． D．
5.已知向量，的夹角为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
6.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
7.的内角、、的对边分别为、、，若、、成等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
8.函数的大致图象是（ ）
9.我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法前两步分为：
第一步：构造数列，，，，…，．①
第二步：将数列①的各项乘以，得数列（记为），，，…，．
则（ ）
A． B． C． D．
10.函数零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11.在平行四边形中，，边，，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.的值为 ．
14.计算： ．
15.已知曲线：与曲线：，若两条曲线在交点处有相同的切线，则实数的值为 ．
16.若对任意的，均有成立，则称函数为函数和函数在区间上的“中间函数”．已知函数，，，且是和在区间上的“中间函数”，则实数的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）求在上的最小值．
18.在数列中，已知，，，为常数．
（1）证明：，，成等差数列；
（2）设，求数列的前项和．
19.已知的内角、、的对边分别为、、，．
（1）若，求的值；
（2）求的取值范围．
20.已知函数（，）．
（1）若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值和最小值；
（2）若在区间上不是单调函数，求的取值范围．
21.在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，设数列的前项和为，求（）的最大值与最小值．
22.已知函数．
（1）若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；
（3）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．
高三期中质量检测理科数学试题答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）
，
所以函数的最小正周期为．
由，，
得，，
所以函数的单调递增区间为，．
（2）因为，所以，
所以，所以，
所以在上的最小值为．
18.解：（1）因为，，
所以，
同理，，，
又因为，，
所以，
故，，成等差数列．
（2）由，得，
令，则，，
所以是以为首项，公差为的等差数列，
所以，
即，，两式相加，得：，
所以，
，
当，，
当，．
19.解：（1）由余弦定理及题设可知：，得，
由正弦定理，得．
（2）由题意可知．
．
因为，所以，故，
所以的取值范围是．
20.解：（1）∵在上，∴，
∵点在的图象上，∴，
又，∴，
∴，解得，．
∴，，
由可知和是的极值点．
∵，，，，
∴在区间上的最大值为8，最小值为．
（2）因为函数在区间上不是单调函数，所以函数在上存在零点．
而的两根为，，
若，都在上，则解集为空集，这种情况不存在；
若有一个根在区间上，则或，
∴．
21.解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则
解得，，
所以，．
（2）由（1）得，故，
当为奇数时，，随的增大而减小，所以；
当为偶数时，，随的增大而增大，所以，
令，，则，故在时是增函数．
故当为奇数时，；
当为偶数时，，
综上所述，的最大值是，最小值是．
22.解：（1），，
因为函数在其定义域内为增函数，
所以，恒成立，
当时，显然不成立；
当时，，要满足，时恒成立，则，
∴．
（2）设函数，，
则原问题转化为在上至少存在一点，使得，即．
①时，，
∵，∴，，，则，不符合条件；
②时，，
由，可知，
则在单调递增，，整理得．
综上所述，．
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