第4章自我评价
一、选择题(每小题2分，共20分)
1．下列等式中，从左到右的变形为因式分解的是(D)
A. 12a2b＝3a·4ab
B. (x＋2)(x－2)＝x2－4
C. 4x2－8x－1＝4x(x－2)－1
D. 2ax－2ay＝2a(x－y)
2．下列添括号中，错误的是(A)
A. －x＋5＝－(x＋5)
B. －7m－2n＝－(7m＋2n)
C. a2－3＝＋(a2－3)
D. 2x－y＝－(y－2x)
3．已知a＋b＝3，ab＝2，则a2b＋ab2的值为(B)
A. 5 B. 6
C. 9 D. 1
4．把代数式ax2－4ax＋4a分解因式，结果正确的是(A)
A. a(x－2)2 B. a(x＋2)2
C. a(x－4)2 D. a(x＋2)(x－2)
5．如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，小明将图①的阴影部分拼成了一个矩形，如图②中的阴影，这一过程可以验证(D)
,(第5题))
A. a2＋b2－2ab＝(a－b)2
B. a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
C. 2a2－3ab＋b2＝(2a－b)(a－b)
D. a2－b2＝(a＋b)(a－b)
6．若x2＋mx＋16是完全平方式，则m的值等于(D)
A. －8 B. 8
C. 4 D. ±8
7．已知多项式4x2－(y－z)2的一个因式为2x－y＋z，则另一个因式是(D)
A. 2x－y－z B. 2x－y＋z
C. 2x＋y＋z D. 2x＋y－z
【解】 ∵4x2－(y－z)2
＝(2x)2－(y－z)2
＝[2x＋(y－z)][2x－(y－z)]
＝(2x＋y－z)(2x－y＋z)，
∴另一个因式是2x＋y－z.
8．若将x2＋ax＋1分解因式后得(x－2)(x＋b)，则a＋b的值为(C)
A. －1 B. 1
6
C. －3 D. 3
【解】 ∵x2＋ax＋1＝(x－2)(x＋b)
＝x2＋(b－2)x－2b，
∴∴
∴a＋b＝－3.
(第9题)
9．如图，边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，则a3b－2a2b2＋ab3的值为(B)
A. 140
B. 90
C. 70
D. 24
【解】 ∵a＋b＝×14＝7，ab＝10，
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝9.
∴a3b－2a2b2＋ab3＝ab(a2－2ab＋b2)＝ab(a－b)2＝10×9＝90.
10．若多项式x2＋px＋12可分解为两个一次因式的积，则整数p的可能取值的个数为(D)
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
【解】 ∵12＝12×1＝(－12)×(－1)
＝2×6＝(－2)×(－6)
＝3×4＝(－3)×(－4)，
∴p＝±13或±8或±7，故选D.
二、填空题(每小题2分，共20分)
11．因式分解：x2－3x＝x(x－3)．
12．因式分解：6m2－6n2＝6(m＋n)(m－n)．
13．将3x(a－b)－9y(b－a)分解因式应提取的公因式是3(a－b)．
14．计算：832＋83×34＋172＝10000．
【解】 832＋83×34＋172
＝832＋2×83×17＋172
＝(83＋17)2
＝1002＝10000.
15．若x＋y＝5，xy＝3，则2x2y＋2xy2＝__30__．
【解】 原式＝2xy(x＋y)＝2×3×5＝30.
16．已知|x－y＋2|＋(x＋y－2)2＝0，则x2－y2的值为__－4__．
【解】 ∵|x－y＋2|＋(x＋y－2)2＝0，
∴x－y＋2＝0，x＋y－2＝0，
6
∴x－y＝－2，x＋y＝2，
∴x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝2×(－2)＝－4.
17．若一个正方形的面积为a2＋a＋(a>0)，则此正方形的周长为4a＋2．
【解】 ∵a2＋a＋＝，
∴正方形的边长为a＋，
∴正方形的周长为4＝4a＋2.
18．如图，现有边长为a的正方形1个，边长为b的正方形3个，边长为a，b(a>b)的长方形4个，把它们拼成一个大长方形．请利用这个拼图中图形的面积关系分解因式：a2＋4ab＋3b2＝(a＋b)(a＋3b)．
(第18题)
19．若x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，则2x＋3y的值为－5．
【解】 (x2－4x＋4)＋(y2＋6y＋9)＝0，(x－2)2＋(y＋3)2＝0，∴x－2＝0且y＋3＝0，∴x＝2，y＝－3，∴2x＋3y＝－5.
20．若x2＋5x＋6＝(x＋2)·A，则多项式A＝x＋3．
【解】 设A＝ax＋b，则
(x＋2)·A＝(x＋2)(ax＋b)
＝ax2＋bx＋2ax＋2b
＝ax2＋(2a＋b)x＋2b
＝x2＋5x＋6，
∴a＝1，2b＝6，
∴b＝3，
∴A＝x＋3.
三、解答题(共60分)
21．(16分)分解因式：
(1)x2y－2xy2.
【解】 原式＝xy(x－2y)．
(2)m2－6mn＋9n2.
【解】 原式＝m2－2·m·3n＋(3n)2
＝(m－3n)2.
(3)x2－y4.
【解】 原式＝x2－
＝
6
(4)5x(a－b)－7y(b－a)．
【解】 原式＝5x(a－b)＋7y(a－b)
＝(a－b)(5x＋7y)．
(5)m－ma2.
【解】 原式＝m(1－a2)
＝m(1＋a)(1－a)．
(6)xy2－8xy＋16x.
【解】 原式＝x(y2－8y＋16)
＝x(y－4)2.
(7)(x＋y)2－14y(x＋y)＋49y2.
【解】 原式＝(x＋y－7y)2
＝(x－6y)2.
(8)(a＋2)(a－8)＋25.
【解】 原式＝a2－6a－16＋25
＝a2－6a＋9
＝(a－3)2.
22．(6分)用简便方法计算：
(1)10092－10082.
【解】 原式＝(1009＋1008)(1009－1008)
＝2017×1
＝2017.
(2)2362－236×470＋2352.
【解】 原式＝2362－2×236×235＋2352
＝(236－235)2
＝12＝1.
23．(6分)已知大正方形的周长比小正方形的周长大96 cm，它们的面积相差960 cm2，求这两个正方形的边长．
【解】 设大正方形的边长为x(cm)，小正方形的边长为y(cm)，则
由①，得x－y＝24.③
由②，得(x＋y)(x－y)＝960.④
把③代入④，得x＋y＝40，⑤
联立③⑤，解得
答：大正方形的边长为32 cm，小正方形的边长为8 cm.
24．(6分)已知n是自然数，如果n＋20和n－21都是完全平方数，求n的值．
【解】 设n＋20＝a2(a为正整数)，n－21＝b2(b为正整数)，
则a2－b2＝41，
∴(a＋b)(a－b)＝41＝41×1，
∴ 解得
∴n＝202＋21＝421.
25．(8分)已知a，b，c为三角形ABC的三边长，且2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，
6
试判断三角形ABC的形状，并证明你的结论．
【解】 三角形ABC是等边三角形．证明如下：
∵2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，
∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc＝0，
a2－2ab＋b2＋a2－2ac＋c2＋b2－2bc＋c2＝0，
(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，
∴(a－b)2＝0，(a－c)2＝0，(b－c)2＝0，
∴a＝b且a＝c且b＝c，即a＝b＝c，
∴三角形ABC是等边三角形．
26．(9分)先阅读下列材料，再回答问题：
要把多项式am＋an＋bm＋bn因式分解，可以先把它的前两项分成一组，并提出a；把它的后两项分成一组，并提出b，从而得到a(m＋n)＋b(m＋n)．这时由于a(m＋n)与b(m＋n)又有公因式(m＋n)，于是可提出公因式(m＋n)，从而得到(m＋n)(a＋b)．因此有am＋bn＋bm＋an＝(am＋an)＋(bm＋bn)＝a(m＋n)＋b(m＋n)＝(m＋n)(a＋b)．
这种因式分解的方法叫做分组分解法．如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解了．
请用材料中提供的方法分解因式：
(1)a2－ab＋ac－bc.
(2)m2＋5n－mn－5m.
(3)m3－2m2－4m＋8.
【解】 (1)原式＝a(a－b)＋c(a－b)
＝(a－b)(a＋c)．
(2)原式＝(m2－mn)－(5m－5n)
＝m(m－n)－5(m－n)
＝(m－n)(m－5)．
(3)原式＝(m3－4m)－(2m2－8)
＝m(m2－4)－2(m2－4)
＝(m2－4)(m－2)
＝(m＋2)(m－2)2.
27．(9分)下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x＝y，则
原式＝(y＋2)(y＋6)＋4 (第一步)
＝y2＋8y＋16 (第二步)
＝(y＋4)2 (第三步)
＝(x2－4x＋4)2. (第四步)
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的(C)
A. 提取公因式
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果不彻底(填“彻底”或“不彻底”)．
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：(x－2)4．
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2－2x)·(x2－2x＋2)＋1进行因式分解．
6
【解】 (3)设x2－2x＝y，则
原式＝y(y＋2)＋1＝y2＋2y＋1
＝(y＋1)2＝(x2－2x＋1)2
＝(x－1)4.
6
微信/支付宝扫码支付