2016级高三模拟考试
文科数学
2019.03
本试卷共6页，满分150分。
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则集合中元素的个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知复数的值为
A．1 B． C． D．
3．己知向量，则实数的值为
A．0或3 B．－3或0 C．3 D．－3
4．设，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼
状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980一1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．
A．互联网行业从业人员中90后占一半以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20％
C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
6．函数的图象大致为
7．若变量满足约束条件则的最大值为
A．16 B．8 C．4 D．3
8．某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均
相等，则该几何体的表面积为
A．
B．
C．
D．
9．赵爽是国古代数字冢、天文字冢，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作
序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF=2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是
A． B． C． D．
10．已知点P(1，2)是函数图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．设，则函数图象的对称中心可以是
A． B．(1，0) C． D．
11．如图，已知点分别是双曲线的左、右焦点，点A,B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足，则双曲线的离心率为
A． B．
C． D．
12．己知函数上单调递减，则实数m的取值范围是
A．[一1，1] B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数为偶函数，则___________．
14.若___________．
15．已知直线相切，则实数的值为__________．
16．如图，四棱锥P—ABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，且球的表面积为，则四棱锥P—ABCD体积的最大值为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题。每个试题考生都必须作答。第22、23
题为选考题，考生根据要求作答。
17．(12分)
己知数列是等差数列，其前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
18．(12分)
如图，在三棱锥P—ABC中，是边长为2的等边三角形，．
(1)证明：；
(2)若为线段PC上一点，且，求三棱锥P—ABM的体积．
19．(12分)
在考试评价中，客观题难度的计算公式为，其中只为第i题的难度，为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．
现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示(“√”表示答对。“×”表示答错)：
(1)根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表：
并根据上表估计这120名学生中第5题的实测答对人数；
(2)从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；
(3)定义统计量，其中为第i题的实测难度，为第i题的预估难度．规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理．
20.（12分）
已知直线l的方程为分别为椭圆的左、右焦点，其中m>1．
(1)当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；
(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，若原点O在以线段AB为直径的圆内，求实数m的取值范围．
21．(12分)
已知函数．
(1)当时，求曲线处的切线方程；
(2)若对任意，都有，求实数的取值范围．
考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．(10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心为，半径为1的圆．
(1)求曲线的普通方程和的直角坐标方程；
(2)设M为曲线上的点，N为曲线上的点，求的取值范围．
23．(10分)选修4-5：不等式选讲
设函数．
(1)若不等式的解集为，求实数的值；
(2)证明：．
绝密★启用前 试卷类型：A
二〇一六级高三模拟考试
文科数学参考答案 2019.03
一、选择题
1-5 CDBCD 6-10 ACDBD 11-12 AB
1. 答案C 解析：，集合中有5个元素，故选C.
2. 答案D 解析：解得，故选D.
3. 答案B 解析：由得，，解得或，故选B .
4. 答案C 解析：由，所以等价于，即，所以“”是“”的充分必要条件，故选C.
5. 答案D 解析：由图易知互联网行业从业人员后占，A正确；仅后从事技术岗位的人数占总人数比为超过,B正确；后从事运营岗位的人数占总人数比为，C正确；后从事技术岗位的人数占总人数比为，故D不一定正确.
6. 答案A 解析：由，排除B，，排除C，D,从而选A.
7. 答案C 解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．则当直线经过点时，取得最大值且，故选C.
8. 答案D 解析：由几何体的三视图得该几何体是棱长为的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，如图，以该几何体的表面积： ，故选D.
9. 答案B 解析：由题意，设，且，由，∴.
∴△的面积为，
△的面积为，
∴在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是
,故选B.
10. 答案D 解析：取的中点，连结，则，，
在中，由，得．所以 ， 的中点都是图象的对称中心，故选D．
11．答案A 解析：连结,则四边形为矩形，所以，在中，， ，由，得离心率为, 故选A.
12.答案B 解析：，因为在上单调递减，所以恒成立，整理得，设()，则不等式在区间上恒成立，于是有，即，故实数的取值范围是，故选B.
二、填空题
13. 14. 15. －12或8 16.
13．答案： 解析：因为，所以，可得＝3.
14. 答案： 解析：因为，所以，.
15．答案：－12或8 解析：圆的标准方程为，所以圆心坐标为(2,1)，半径为2.由直线与圆相，所以，解得或.
16. 答案： 解析：因为球的表面积是，所以，解得.
设矩形的长宽分别为，则，当且仅当时上式取等号，即底面为正方形时，底面面积最大，此时.
因为点在球面上，所以当底面时，，即，此时四棱锥体积有最大值为.
三、解答题
17．解：（1）因为数列是等差数列，由，得，所以，
又，所以公差，所以，
故数列的通项公式． …………………6分
（2），所以数列是首项为4，公比的等比数列，
所以数列的前项和． ……………12分
18.（1）证明：取的中点，连接，因为，所以,
因为为等边三角形，所以，又,所以平面，
因为平面,所以. .…………………6分
(2)解： 因为,所以,
又因为，且，所以平面.
因为是边长的等边三角形，所以,
因为，所以. ……12分
19．解：（1）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：
题 号
1
2
3
4
5
实测答对人数
8
8
7
7
2
实测难度
0.8
0.8
0.7
0.7
0.2
……3分
所以，估计120人中有人答对第5题． ………………4分
（2）记编号为的学生为，
从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种．
其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为，，，，，，共6种． ………………………6分
所以，从抽样的5名学生中随机抽取2名恰好有1人答对第5题的概率为 ． ……………………8分
（3）将抽样的10名学生中第题的实测难度，作为120名学生第题的实测难度．
．
因为 ，所以，该次测试的难度预估是合理的． ……………………12分
20解:(1) 直线经过，，得.
又，，故直线的方程为. ………….………....4分
（2）设,
由消去，得，
由得， 解得.
原点在以线段为直径的圆内， . ………………….8分
，
，解得.
又， ，
所以实数的取值范围是 . ………………12分
21.解：（1）当时，，函数的定义域为，
，
所以，又，
所以曲线在处的切线方程为. …….………....4分
（2），
由题意知，则有，所以.
（i） 若，则当时，，在上单调递减，
而，不满足.
（ii） 若，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故在上的最小值为，
由题意得，解得，
所以.
（iii） 若，则当时，，在上单调递增，又，
故时，恒成立.
综上，实数的取值范围是. …….………...12分
22.解：（1）消去参数可得的普通方程为， ……2分
∵曲线是圆心为，半径为的圆，曲线的圆心的直角坐标为，
∴的直角坐标方程为； …………5分
（2）设，则
， …………8分
， ，
由题意结合图象可得的最小值为，最大值为，
∴的取值范围为. …………10分
23.解：（1）由，可得，
当时，，解得，
这与矛盾，故不成立， ……………2分
当时，，解得，
又不等式的解集是，故，解得． ……………6分
（2）证明： ……………8分
. ……………10分
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