2016级高三模拟考试
理科数学
2019.03
本试卷共6页，满分150分。
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数的值为
A．1 B． C． D．
2．己知集合
A．(1，3) B． C．[－1，2) D．(－1，2)
3．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则
A． B． C． D．
4．已知，则下列各式成立的是
A． B． C． D．
5．数列是等差数列，，公差d∈[1，2]，且，则实数的最大值为
A． B． C． D．
6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980—1989年之间出生，80前指1979年及以前出
生．
A．互联网行业从业人员中90后占一半以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20％
C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
7．设，则“”是“”的
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、C三个不同社区进行志愿服务活动，
每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为
A．8 B．7 C．6 D．5
9．正方形的边长为2，E是正方形内部(不包括正方形的边)一点，且，则的最小值为
A. B.12 C. D.13
10．某空间几何体的三视图如图所示(图中小正方形的边长为1)，则这个几何体的体积是
A. B.
C.16 D.32
11．己知函数的图象与直线恰有四个公共点，其中，则
A． B．0 C．1 D．
12．已知函数(e为自然对数底数)，若关于的不等式
有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数为偶函数，则___________．
14．已知等比数列的前项和为__________．
15．某市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取的份数为__________．
16．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于点
A，B，以线段AB为直径的圆E上存在点P，Q，使得以PQ为直径的圆过点，
则实数t的取值范围为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～2l题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．(12分)
在角中，角A、B、C的对边分别是，若．
(1)求角A；
(2)若的面积为，求的周长．
18．(12分)
如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，平面底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点且PM=3MC，．
(1)求证：平面平面以PAD；
(2)求二面角的大小．
19．(12分)
某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为5元／瓶．酸奶在试销售期间足量供应，每天的销售数据按照[15,25]，(25,35]，(35,45]，(45,55]分组，得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率．
(1)从试销售期间任选三天，求其中至少有一天的酸奶销量大于35瓶的概率；
(2)试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱50瓶，批发成本75元；小箱每箱30瓶，批发成本60元．由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废．该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱(计算时每个分组取中间值作为代表，比如销量为(45,55]时看作销量为50瓶)．
①设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量X
，批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量Y，求X和Y的分布列和数学期望；
②以利润作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱?
注：销售额=销量×定价；利润=销售额－批发成本．
20.（12分）
己知点E，F分别是椭圆的上顶点和左焦点，若EF与圆相切于点T，且点T是线段EF靠近点E的三等分点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第二象限，过坐标原点O且与l垂直的直线与圆相交于A，B两点，求面积的取值范围．
21．(12分)
己知函数．
(1)令，求函数的单调区间；
(2)令，若函数恰有两个极值点，且满足(e为
自然对数的底数)求的最大值．
考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．(10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，在以O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心为，半径为l的圆.
(1)求曲线，的直角坐标方程；
(2)设M为曲线上的点，N为曲线上的点，求的取值范围．
23．(10分)选修4-5：不等式选讲
设函数．
(1)若不等式的解集为，求实数的值；
(2)证明：．
2016级高三模拟考试
理科数学答案 2019.03
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
DCDBD DCBCAA AA
1.【答案】D
解析：，即
2.【答案】C
解析：，，所以.
3.【答案】D
解析：因为直线与直线垂直，所以，.
又为直线倾斜角，解得.
4.【答案】B
解析：,所以.
5.【答案】D
解析：由，，，，随着的增大而减小当时，取得最大值.
6.【答案】D
解析：由图易知互联网行业从业人员后占，A正确；仅后从事技术岗位的人数占总人数比为超过,B正确；后从事运营岗位的人数占总人数比为，C正确；后从事技术岗位的人数占总人数比为，故D不一定正确.
7.【答案】C.
解析：若，则；若，因为则
，故“”是“”的充分必要条件.
8.【答案】B
解析：若乙去社区，则有种安排方法；若乙去社区，如果社区有人，则有种安排方法；如果社区有人，则有种安排方法，故共有种不同的安排方法.
9.【答案】C
解析：建立以为原点，以直线为轴，直线为轴的平面直角坐标系.设，则由，得.所以
=，所以当时，的最小值为.
10.【答案】A
解析：该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体，其体积是正方体体积的，等于.
11.【答案】A
解析：直线与函数图象恰有四个公共点，结合图象知直线与函数相切于，，因为，故=，所以.
12.【答案】A
解析：，
∴，
设，
∴，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
∴，
当时，，当，，
函数图像恒过点，
分别画出与的图象，如图所示，
若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上
方只有一个正整数值，
∴且，∴，
故实数的最大值为.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 14. 15. 16.
13.【答案】
解析:法一：因为，所以，可得，所以，.
法二：由为偶函数，知其奇次项的系数为0，所以，，所以.
14.【答案】
解析:由题意知,所以.
15.【答案】
解析:，
所以应从120分以上的试卷中抽取份．
16.【答案】
解析:由题得直线的方程为即,设，
联立得
，
所以以为直径的圆的圆心为，半径为.
所以该圆的方程为.
所以点恒在圆外，圆上存在点，使得以为直径的圆过点，即圆上存在点，使得，显然当与圆相切时，设切点为，此时应满足，所以，整理得.解之得.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.（12分）
解：（1）由正弦定理得：，…………………………3分
，
是的内角，
. ………………………………………6分
（2）的面积为,
,
由（1）知，
， ……………………9分
由余弦定理得：，
，
得：，
的周长为. ………………12分
18.（12分）
解：（1），，为的中点，
四边形为平行四边形，． ……………………3分
, 即．
又∵平面平面，且平面平面，
平面．
平面，
∴平面平面． ………………………………………6分
（2），为的中点，
．
∵平面平面，且平面平面，
∴平面．
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则平面的一个法向量为，
，………………………………9分
设，则，，
，
，
， ………………………………………10分
在平面中，，，
设平面的法向量为
则,即
∴ 平面的一个法向量为,
，
由图知二面角为锐角，所以所求二面角大小为. ……………………………12分
19. （12分）
解：（1）根据图中数据，酸奶每天销量大于瓶的概率为，不大于瓶的概率为. ............2分
设“试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量大于瓶”为事件，则表示“这三天酸奶的销量都不大于瓶”.
所以. ............5分
(2)①若早餐店批发一大箱，批发成本为元，依题意，销量有四种情况.
当销量为瓶时，利润为元；
当销量为瓶时，利润为元；
当销量为瓶时，利润为元；
当销量为瓶时，利润为元.
随机变量的分布列为
所以(元). .............8分
若早餐店批发一小箱，批发成本为元，依题意，销量有两种情况.
当销量为瓶时，利润为元；
当销量为瓶时，利润为元.
随机变量的分布列为
所以(元). ………………………………………10分
②根据①中的计算结果，，
所以早餐店应该批发一大箱. …………………………………12分
20.（12分）
解：(1) ，
，，
椭圆的标准方程； …………………………………5分
（2）由得，，
因为直线与椭圆相切于点，
所以，即，
解得，
即点的坐标为，
因为点在第二象限，所以，
所以，
所以点的坐标为， ………………………………………8分
设直线与垂直交于点，则是点到直线的距离，
设直线的方程为，
则
，
当且仅当，即时，有最大值，
所以，即面积的取值范围为.……12分
21.（12分）
解:（1）由题意知，
，则．
由，解得，故在上单调递增；
由，解得，故在上单调递减；
所以，函数的单调递增区间为，
函数的单调递减区间为. …………………………4分
（2）
由题意知，
．
令，
得
由函数恰有两个极值点，
令，则，
则由 ………………………6分
解得 ………………………8分
故，．
令，则． …………………………………10分
令，则．
所以在区间上单调递增，即．
所以，即在区间上单调递增，即
所以，即.
所以的最大值为． …………………………………12分
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（1）消去参数可得的直角坐标方程为， ……2分
∵曲线是圆心为，半径为1的圆
曲线的圆心的直角坐标为（0，2），
∴的直角坐标方程为； …………5分
（2）设，则
， …………8分
，由二次函数可知，
由题意结合图象可得的最小值为，最大值为，
∴的取值范围为. …………10分
23.（10分）选修4-5：不等式选讲
解：（1）由，
可得，
当时，，
解得：，这与矛盾，故不成立， ……………2分
当时，，解得：，
又不等式的解集是，故，解得：． ……………6分
（2）证明： ……………8分
. ……………10分
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