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泉港一中2017-2018学年上学期期中试卷
高三数学（文科）试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
第Ⅰ卷（选择题 60分）
一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.为虚数单位，复数的虚部为（ ）
A． 1 B．0 C． D．以上都不对
3.已知双曲线的渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4.已知，，则在方向上的投影为（ ）
A. B. C. D.
5.已知等比数列的首项为，公比为，满足且，则 （ ）
A.的各项均为正数 B.的各项均为负数 C.为递增数列 D.为递减数列
6.函数的图像大致为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知点P的坐标（x，y）满足，过点P的直线l与圆C：x2+y2=16相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8.如图给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内可以填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
9.设函数，把的图象向左平移个单位后，得到的部分图象如图所示，则的值等于（ ）
A． B． C． D．1
10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（ ）
A． B． C． D．
11. 已知数列是等差数列，其前n项和有最大值，若0时n的
最大值是（ ）
A.24 B.25 C.47 D.48
12. 已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若函数 ，则
14.已知，，则 ．
15.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的上下顶点分别为A，B，右顶点为C，右焦点为F，延长BF与AC交于点P，若O，F，P，A四点共圆，则该椭圆的离心率为 ．
16．已知A，B，C是圆x2+y2=1上互不相同的三个点，且满足||=||，则的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．(本小题满分12分)
设数列的前项和为,且，
（Ⅰ）证明:数列是等比数列；
（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和为．
18．（本小题满分12分）
在△ABC中，己知 ，，又△ABC的面积为6。
（Ⅰ）求△ABC的三边长；
（Ⅱ）若D为BC边上的一点，且CD=1，求 ．
19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点，PC=．
（Ⅰ）求证：PC⊥AD； （Ⅱ）求三棱锥M﹣PAB的体积．
20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点过为F，过F且倾斜角为的直线l被E截得的线段长为8．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过F，且圆C与直线x=相交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．
21. （本小题满分12分）
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，证明．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.
（1）求直线和曲线的普通方程；
（2）设直线和曲线交于两点，求.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数（）
（1）当时，解不等式；
（2）令，若在上恒成立，求实数的取值范围.
泉港一中2017-2018学年上学期期中试卷
高三数学（文科）参考答案
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
B
A
B
D
D
A
A
B
A
D
C
A
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.2 14. 15. 16. [﹣，）．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．(本小题满分12分)
设数列的前项和为,且，
（Ⅰ）证明:数列是等比数列；
（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和为．
解：（Ⅰ）证明：因为，则…………… 1分
所以当时，，……………………… 3分
整理得． ……………………… 4分
由，令，得，解得．……………………… 5分
所以是首项为3，公比为2的等比数列． ……………………… 6分
（Ⅱ）解：因为，……………………… 7分
由，得．
所以 ……………………… 9分[来源:Z.xx.k.Com]
……………………… 11分
所以． ……………………… 12分
18．（本小题满分12分）
在△ABC中，己知 ，，又△ABC的面积为6。
（Ⅰ）求△ABC的三边长；
（Ⅱ）若D为BC边上的一点，且CD=1，求 ．
解：（Ⅰ）设三边分别为
由正弦定理得，∴sin（A+C）=sinCcosA，…………2分
化为sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA，
∴sinAcosC=0，可得…………………………………4分
又
两式相除可得 令
则
三边长分别为3，4，5， ……………………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知tan∠BAC=，由三角函数定义知tan∠DAC=，……9分
所以tan=tan（∠BAC-∠DAC）===……12 分
19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点，PC=．
（Ⅰ）求证：PC⊥AD；
（Ⅱ）求三棱锥M﹣PAB的体积．
证明：（Ⅰ）证法一：连结AC，
由已知得△PAD，△ACD均为正三角形，PA=AC，PD=CD，
∵M为PC的中点，∴PC⊥AM，PC⊥DM，
又AM，DM⊂平面AMD，AM∩DM=M，
∴PC⊥平面AMD，
又AD⊂平面AMD，∴PC⊥AD．
证法二：取AD的中点O，连结OP，OC，AC，
由已知得△PAD，△ACD均为正三角形，∴OC⊥AD，OP⊥AD，
又OC∩OP=O，OC，OP⊂平面POC，
∴AD⊥平面POC，
又OP⊂平面POC，∴PC⊥AD．
解：（Ⅱ）∵，PO=OC=，PC=，
∴PO2+OC2=PC2，∴PO⊥OC，
又OP⊥AD，OC∩AD=O，OC，AD⊂平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
又=，
∴三棱锥M﹣PAB的体积==．
20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点过为F，过F且倾斜角为的直线l被E截得的线段长为8．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过F，且圆C与直线x=相交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．
解：（Ⅰ）由题意，直线l的方程为y=x﹣，
联立，消去y整理得，
设直线l与抛物线E的交点的横坐标为x1，x2，则x1+x2=3p，
故直线l被抛物线E截得的线段长为x1+x2+p=4p=8，得p=2，
∴抛物线E的方程为y2=4x；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F（1，0），设C（x0，y0），则圆C的方程是，
令x=﹣，则，又，
△==＞0恒成立，
设A（），B（，y4），则y3+y4=2y0，，
∴|FA|•|FB|==
==，
∵x0≥0，∴|FA|•|FB|∈[3，+∞）．
21. （本小题满分12分）
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，证明．
解之得，即点的坐标为或．
21.解：（1），且，
所以切线方程，即．
（2）由，
．
，所以在为增函数，
又因为，，
所以存在唯一，使，即且当时，，为减函数，时，为增函数，
所以，，
记，，
，所以在上为减函数，
所以，
所以．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.
（1）求直线和曲线的普通方程；
（2）设直线和曲线交于两点，求.
解：（Ⅰ）因为，
所以
由，
得 …………………………3分
因为消去得
所以直线和曲线的普通方程分别为和. …………4分
（Ⅱ）点的直角坐标为，点在直线上，
设直线的参数方程：（为参数），对应的参数为.
…………………………7分
…………………………10分
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数（）
（1）当时，解不等式；
（2）令，若在上恒成立，求实数的取值范围.
解：（Ⅰ）依题意得
当时，原不等式化为：，解得
当时，原不等式化为：，解得
当时，原不等式化为：，解得
综上可得，不等式的解集为 …………………4分
（Ⅱ）
；
；
；
所以的最小值为；
则，所以
解得或 ……………10分
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