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泉港一中2017-2018学年上学期期中考试
高二年级理科数学试卷
一、选择题(本大题共12小题，共60分)
1．已知椭圆与双曲线的焦点相同，且短轴长为，则此椭圆的方程为（ ）
A. B. C. D.
2．现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．
②科技报告厅有32排，每排有40个座位.有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．
③某中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员32名，后勤人员8名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
较为合理的抽样方法是（ ）
A．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 B．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
3．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
4. 执行如右图所示程序框图，则输出的值为（ ）
A. B. C. D.
5．在区间上随机取一个数，使得成立的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，那么互斥而不对立的
两个事件是（ ）
A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与都是红球
C. 至少有一个黑球与至少有个红球 D. 恰有个黑球与恰有个黑球
7.如图，在边长分别为和的矩形内有由函数的图象和轴围成的区域（阴影部分），李明
同学用随机模拟的方法估算该区域的面积.若在矩形内每次随机产生个
点，并记录落在该区域内的点的个数. 经过多次试验，计算出落在该区域内点
的个数平均值为个，若的近似值为，则该区域的面积约为（ ）
A. B. C. D.
8. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，给出下列两个命题：
命题：若，则； 命题： ， .
则下列叙述正确的是（ ）
A. 的否命题是：若，则 B. 是假命题
C. 为： ， D. 是假命题
10．已知双曲线的中心为原点，点是双曲线的一个焦点，点到渐近线的距离为1，
则的方程为（ ）
A. B. C. D.
11.椭圆上的一点关于原点的对称点为，为它的右焦点，
若，则的面积是（ ）
A． B. C. D.
12. 已知两定点和，动点在直线:上移动，
椭圆以，为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共4小题，共20分)
13．设椭圆的左、右焦点分别为，是上任意一点，则的周长为
14. 不透明袋子中放有大小相同的个球，球上分别标有号码,,,,，若从袋中任取三个球，则这三个球号码之和为的倍数的概率为
15．已知，，如果是的必要不充分条件，则实数的取值范围是
16．是抛物线的焦点，是抛物线上任意一点。下列结论中正确的是
①当点为坐标原点时，为最短；②以线段为直径的圆必与轴相切；
③若点是抛物线上异于点的一点，则当直线过焦点时，取得最小值；
④点、、是抛物线上异于点的不同两点，若、、成等差数列，则点、、的横坐标亦成等差数列。
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.（本小题满分10分）
双十一网购狂欢，快递业务量猛增．甲、乙两位快递员月日到日每天送件数量的茎叶图如图所示．
（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个快递员的平均送件数量较多（写出结论即可）；
（Ⅱ）从乙送件数量中随机抽取个，求至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的概率．
18. （本小题满分12分）
已知命题函数的定义域为，命题函数在上是增函数.
（Ⅰ）若为真，求的范围；
（Ⅱ）若“”为真命题，“”为假命题，求的取值范围.
19.（本小题满分12分）
已知在平面直角坐标系中，动点到定点的距离与它到定直线的
距离之比为常数.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设点，若是（Ⅰ）中轨迹上的动点，求线段的中点的轨迹方程.
20. （本小题满分12分）
已知双曲线的右焦点为圆的圆心，且其渐近线与该圆相切.
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）已知点也是抛物线:的焦点，且直线过点交抛物线于，两点，是否存在直线，使得恰为弦的中点？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．
21．(本小题满分12分)
某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图.
（图1） （图2）
（Ⅰ）试估计100户居民用水价格的平均数和中位数；
（Ⅱ）如图2是该市居民李某2017年1～6月份的月用水费(元)与月份的散点图，
其拟合的线性回归方程是. 若李某2017年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数．
22. (本小题满分12分)
已知椭圆 （）的离心率为 ，，，，
的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设的椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.
求证：为定值.
泉港一中2017-2018学年上学期期中考试
高二年级理科数学参考答案
一、选择题（共12题，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
C
D
D
B
B
D
A
C
D
二、填空题（共4题，共20分）
13. 14. 15. 16. ①②④
三、解答题（共6题，共70分）
17.（本题10分）（Ⅰ）由茎叶图知甲快递员月日到17日每天送件数量相对乙来说位于茎叶图的左上方偏多，∴乙快递员的平均送件数量较多． …………3分
（Ⅱ）甲送件数量的平均数：
…………5分
从乙送件数量中随机抽取个，基本事件总数，
至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的对立事件是抽取的个送件量都不大于，只有一种情况
∴至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的概率：
． …………10分
18．（本题12分）
解：（Ⅰ）若为真，恒成立 …………1分
当时，为真 …………2分
当时，若为真，则，
所以. …………5分
综上可得 …………6分
（Ⅱ）因为函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线，
所以，若为真，则. …………8分
若为真，为假，则中一真一假； …………9分
或，
所以的取值范围为. …………12分
19.（本题12分）
解：（Ⅰ）设动点，由已知可得
， …………3分
即，化简得.
即所求动点的轨迹的方程为. …………6分
（Ⅱ）设线段的中点为 ,点的坐标是，
由，得， …………9分
由点在椭圆上,得,
∴线段中点的轨迹方程是. …………12分
20. （本题12分）
解: （Ⅰ）圆的圆心为，半径为，
即有, 即, 即， …………2分
双曲线的渐近线方程为， …………3分
由直线和圆相切的条件，可得：
可得双曲线的标准方程为. …………6分
（2）因为点也是抛物线:的焦点，
所以抛物线的方程为 …………7分
假设存在直线，使得恰为弦的中点，
设，
则，
两式作差得：，即．
∴直线的斜率为4，此时的方程为，即为.
经检验满足条件，所以所求直线方程为 …………12分
（其他方法相应得分）
21．（本题12分）
解：（Ⅰ）可估计全市居民用水价格的平均数的平均数为
…………3分
由于前4组的频率之和为，
前5组的频率之和为，故中位数在第5组中.
设中位数为吨，则有，所以，
即所求的中位数为吨. …………6分
(Ⅱ) 设李某2017年1～6月份的月用水费（元）与月份的对应点为，
它们的平均值分别为，，则，又点在直线上，所以，因此，
所以7月份的水费为元． …………9分
设居民月用水量为吨，相应的水费为元，则
即
当时，，
所以李某7月份的用水吨数约为13吨． …………12分
22. （本题12分）
（I）由已知，，又
解得
∴椭圆的方程为. …………………4分
（II）设椭圆上一点，则.
直线：,令，得.
∴
直线：,令，得.
∴ …………………7分
将代入上式得
故为定值. …………………12分
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