2017-2018学年第一学期扬州中学期中考试试卷
高二数学
一、填空题:
1.直线l:2x-y+1=0的斜率为________
2.命题p:∃x∊R,使得x2+1≤0的否定为______________
3.直线l:kx+y-2k=0经过定点的坐标为________
4.若命题p:,命题q:点在圆内,则p是q的______条件。
5.已知两条直线l1:x+ay=2a+2,l2:ax+y=a+1,若l1⊥l2,则a=_______
6.命题p:“若a>b,则0
3.直线l:kx+y-2k=0经过定点的坐标为________(2,0)
4.若命题p:,命题q:点在圆内,则p是q的_______条件。充要.
5.已知两条直线l1:x+ay=2a+2,l2:ax+y=a+1,若l1⊥l2,则a=_______ 0
6.命题p:“若a>b,则0)
又由题意OM3==2a3,所以xP=a,代入y2=2ax
得:=2a2,解得yP=a
所以点P(a,a)代入x2=my
得:(a)2=ma,解得m=a
所以抛物线C2为:x2=ay
方法二:设抛物线C2:x2=my(m>0)
联立抛物线C1、C2得:
x4=2am2x,解得x=0或x3=2am2
由题意OM3= x3=2am2=2a3
所以,m=a
所以抛物线C2为:x2=ay
一点说明:古希腊著名的尺规作图题“倍立方问题”,试题也可有文化传承的功能。
18.如图,△AOB的顶点A在射线l:上,A,B两点关于x轴对称,O为坐标原点,且线段AB上有一点M满足|AM|·|MB|=3.当点A在l上移动时,记点M的轨迹为W.
(1)求轨迹W的方程;
(2)设P(m,0)为x轴正半轴上一点,求|PM|的最小值f(m).
解:(1)因为A,B两点关于x轴对称,
所以AB边所在直线与y轴平行.
设M(x,y),由题意,得A(x,x),B(x,-x)
所以|AM|=x-y,|MB|=y+x,
因为|AM|·|MB|=3,
所以(x-y)×(y+x)=3,即
所以点M的轨迹W的方程为(x≥1).
(2)设M(x,y),则
因为点M在,所以y2=3x2-3,
所以
若,即m<4,则当x=1时,|MP|min=|m-1|,
若,即m≥4,则当时,
所以,|PM|的最小值(6分+10分)
19.已知椭圆C:(a>b>0)上顶点为D,右焦点为F,过右顶点A作直线l//DF,且与y轴交于点P(0,t),又在直线y=t和椭圆C上分别取点Q和点E,满足OQ⊥OE(O为坐标原点),连接EQ
(1)求t的值,并证明直线AP与圆x2+y2=2相切;
(2)判断直线EQ与圆x2+y2=2是否相切?若相切,请证明;若不相切,请说明理由。
解:(1)由题设D(0,),F(,0),A(2,0)
又AP//DF,所以kAP=kDF,可得t=2,
所以AP:+=1,即x+y=2
所以d===圆x2+y2=2的半径,
所以直线AP与圆x2+y2=2相切
(2)设Q(x0,2),E(x1,y1)
由OQ⊥OE,则⊥,可得x0x1+2y1=0
而EQ:(y1-2)x- (x1-x0)y-(y1-2)x0+2(x1-x0)=0
d==
由x0x1+2y1=0得x0=-代入上式
得d===
又+2=4,=4-2,代入上式得d=
所以直线EQ与圆x2+y2=2相切。(6分+10分)
此题背景:此题以椭圆为背景,难点在于设椭圆上任意一点,得QE直线方程,证明与圆相切,体现设而不求的想法,有一定的运算推理要求。
20.已知椭圆C:左焦点F,左顶点A,椭圆上一点B满足BF⊥x轴,且点B在x轴下方,BA连线与左准线l交于点P,过点P任意引一直线与椭圆交于C、D,连结AD、BC交于点Q,若实数λ1,λ2满足:=λ1,=λ2
(1)求λ1·λ2的值
(2)求证:点Q在一定直线上
解:(1)因为F(-2,0),由BF⊥x轴,由对称性不妨设B(-2,-3),则直线AB:y=-(x+4)
又左准线l:x=-8,所以P(-8,6)
又=λ1,所以=,
同理由=λ2,得=
又=,所以=
又//,比较系数得=,所以λ1·λ2=
(此题本质是梅涅劳斯定理,由△QAB及截线PCD,可得λ1·λ2=,应给全分)
(2)证明:设点C(x1,y2),D(x2,y2),Q(x0,y0)
由=λ1,得x1=,y1=
代入椭圆方程3x2+4y2=48,得:32+42=48
整理得:(3+4-48)-(12x0+24y0+96)λ1=0
显然λ1≠0,所以λ1=
同理由=λ2,得x2=,y2=
代入椭圆方程3x2+4y2=48,得:32+42=48
同理可得:λ2=
又由(1)λ1·λ2=,所以,·=
整理得:x0-y0+2=0
即点Q在定直线x-y+2=0上
(6分+10分)
此题实质是圆锥曲线极点极线的一个性质。问题设计时,将几何关系用适当的向量关系表出,既体现向量和解析几何的共性,又为解题指引方向。第(1)小问充分体现了构图特点,为第(2)问埋下伏笔;第(2)体现了问题本质PF⊥QF。
原题:设椭圆的左焦点为O,左准线为z,A,B是椭圆上两点,使得OA⊥OB,AB交左准线z于点P,一直线过点P且交椭圆于C、D,AD交BC于点E,如图,求证:OE⊥OP