江苏扬州中学2017-2018高二数学上学期期中试题(有答案)
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资料简介
‎2017-2018学年第一学期扬州中学期中考试试卷 高二数学 一、填空题:‎ ‎1.直线l:2x-y+1=0的斜率为________‎ ‎2.命题p:∃x∊R,使得x2+1≤0的否定为______________‎ ‎3.直线l:kx+y-2k=0经过定点的坐标为________‎ ‎4.若命题p:,命题q:点在圆内,则p是q的______条件。‎ ‎5.已知两条直线l1:x+ay=2a+2,l2:ax+y=a+1,若l1⊥l2,则a=_______ ‎ ‎6.命题p:“若a>b,则0‎ ‎3.直线l:kx+y-2k=0经过定点的坐标为________(2,0)‎ ‎4.若命题p:,命题q:点在圆内,则p是q的_______条件。充要.‎ ‎5.已知两条直线l1:x+ay=‎2a+2,l2:ax+y=a+1,若l1⊥l2,则a=_______ 0‎ ‎6.命题p:“若a>b,则0)‎ 又由题意OM3==2a3,所以xP=a,代入y2=2ax 得:=2a2,解得yP=a 所以点P(a,a)代入x2=my 得:(a)2=ma,解得m=a 所以抛物线C2为:x2=ay 方法二:设抛物线C2:x2=my(m>0)‎ 联立抛物线C1、C2得: x4=2am2x,解得x=0或x3=2am2‎ 由题意OM3= x3=2am2=2a3‎ 所以,m=a 所以抛物线C2为:x2=ay 一点说明:古希腊著名的尺规作图题“倍立方问题”,试题也可有文化传承的功能。‎ ‎18.如图,△AOB的顶点A在射线l:上,A,B两点关于x轴对称,O为坐标原点,且线段AB上有一点M满足|AM|·|MB|=3.当点A在l上移动时,记点M的轨迹为W.‎ ‎(1)求轨迹W的方程;‎ ‎(2)设P(m,0)为x轴正半轴上一点,求|PM|的最小值f(m).‎ 解:(1)因为A,B两点关于x轴对称,‎ 所以AB边所在直线与y轴平行.‎ 设M(x,y),由题意,得A(x,x),B(x,-x)‎ 所以|AM|=x-y,|MB|=y+x,‎ 因为|AM|·|MB|=3,‎ 所以(x-y)×(y+x)=3,即 所以点M的轨迹W的方程为(x≥1).‎ ‎(2)设M(x,y),则 因为点M在,所以y2=3x2-3,‎ 所以 若,即m<4,则当x=1时,|MP|min=|m-1|,‎ 若,即m≥4,则当时,‎ 所以,|PM|的最小值(6分+10分)‎ ‎19.已知椭圆C:(a>b>0)上顶点为D,右焦点为F,过右顶点A作直线l//DF,且与y轴交于点P(0,t),又在直线y=t和椭圆C上分别取点Q和点E,满足OQ⊥OE(O为坐标原点),连接EQ ‎(1)求t的值,并证明直线AP与圆x2+y2=2相切;‎ ‎(2)判断直线EQ与圆x2+y2=2是否相切?若相切,请证明;若不相切,请说明理由。‎ 解:(1)由题设D(0,),F(,0),A(2,0)‎ 又AP//DF,所以kAP=kDF,可得t=2,‎ 所以AP:+=1,即x+y=2‎ 所以d===圆x2+y2=2的半径,‎ 所以直线AP与圆x2+y2=2相切 ‎(2)设Q(x0,2),E(x1,y1)‎ 由OQ⊥OE,则⊥,可得x0x1+2y1=0‎ 而EQ:(y1-2)x- (x1-x0)y-(y1-2)x0+2(x1-x0)=0‎ d== 由x0x1+2y1=0得x0=-代入上式 得d=== 又+2=4,=4-2,代入上式得d= 所以直线EQ与圆x2+y2=2相切。(6分+10分)‎ 此题背景:此题以椭圆为背景,难点在于设椭圆上任意一点,得QE直线方程,证明与圆相切,体现设而不求的想法,有一定的运算推理要求。‎ ‎20.已知椭圆C:左焦点F,左顶点A,椭圆上一点B满足BF⊥x轴,且点B在x轴下方,BA连线与左准线l交于点P,过点P任意引一直线与椭圆交于C、D,连结AD、BC交于点Q,若实数λ1,λ2满足:=λ1,=λ2 ‎(1)求λ1·λ2的值 ‎(2)求证:点Q在一定直线上 解:(1)因为F(-2,0),由BF⊥x轴,由对称性不妨设B(-2,-3),则直线AB:y=-(x+4)‎ 又左准线l:x=-8,所以P(-8,6)‎ 又=λ1,所以=,‎ 同理由=λ2,得= 又=,所以= 又//,比较系数得=,所以λ1·λ2= ‎(此题本质是梅涅劳斯定理,由△QAB及截线PCD,可得λ1·λ2=,应给全分)‎ ‎(2)证明:设点C(x1,y2),D(x2,y2),Q(x0,y0)‎ 由=λ1,得x1=,y1= 代入椭圆方程3x2+4y2=48,得:32+42=48‎ 整理得:(3+4-48)-(12x0+24y0+96)λ1=0‎ 显然λ1≠0,所以λ1= 同理由=λ2,得x2=,y2= 代入椭圆方程3x2+4y2=48,得:32+42=48‎ 同理可得:λ2= 又由(1)λ1·λ2=,所以,·= 整理得:x0-y0+2=0‎ 即点Q在定直线x-y+2=0上 ‎(6分+10分)‎ 此题实质是圆锥曲线极点极线的一个性质。问题设计时,将几何关系用适当的向量关系表出,既体现向量和解析几何的共性,又为解题指引方向。第(1)小问充分体现了构图特点,为第(2)问埋下伏笔;第(2)体现了问题本质PF⊥QF。‎ 原题:设椭圆的左焦点为O,左准线为z,A,B是椭圆上两点,使得OA⊥OB,AB交左准线z于点P,一直线过点P且交椭圆于C、D,AD交BC于点E,如图,求证:OE⊥OP

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