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2017-2018学年天津市红桥区高三(上)期中数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.
1.sin(﹣600°)=( )
A. B. C.﹣ D.﹣
2.已知cos(π﹣α)=﹣,则cos2α=( )
A. B.﹣ C. D.﹣
3.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ≤)的部分图象如图所示,φ=( )
A. B. C. D.
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2+bc,则角A等于( )
A. B. C. D.
5.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是π,且当x∈[0,]时,f(x)=sinx,则f()的值为( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
6.不等式≥2的解集为( )
A.[﹣1,0) B.[﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣1] D.(﹣∞,﹣1]∪(0,+∞)
7.已知集合A={x||x+1|<1},B={x|()x﹣2≥0},则A∩∁RB=( )
A.(﹣2,﹣1) B.(﹣2,﹣1] C.(﹣1,0) D.[﹣1,0)
8.已知三个数a=0.32,b=log20.3,c=20.3,则a,b,c之间的大小关系是( )
A.b<a<c B.a<b<c C.a<c<b D.b<c<a
9.已知函数y=﹣xf′(x)的图象如图(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个
图象中,y=f(x)的图象可能是( )
A. B. C. D.
10.设f(x)=,若f(f(1))=1,则a=( )
A.4 B.3 C.2 D.1
11.若函数f(x)=|4x﹣x2|+a有4个零点,则实数a的取值范围是( )
A.[﹣4,0] B.(﹣4,0) C.[0,4] D.(0,4)
12.若对于任意x∈(﹣2,2)都有2x(x﹣a)<1成立,则a的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣6) B.(,+∞) C.[,+∞) D.(﹣6,+∞)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分).
13.设x=,则tan(π+x)等于 .
14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2﹣b2=bc,sinC=2sinB,则角A为 .
15.已知曲线y=x3+,则过点P(2,4)的切线方程是 .
16.设f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0的值为 .
17.下面四个命题:
①命题“∀x>0,x2﹣3x+2<0”的否定是“∃x>0,x2﹣3x+2≥0”;
②要得到函数y=sin(2x+)的图象,只要将y=sin2x的图象向左平移个单位;
③若定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=﹣f(x),则f(x)是周期函数;
④已知奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(﹣1)=0,则不等式f(x)<0的解集为{x|x<﹣1}.
其中正确的是 .(填写序号)
18.定义在R上的运算:x*y=x(1﹣y),若不等式(x﹣y)*(x+y)<1对一切实数x恒成立,则实数y的取值范围是 .
三、解答题:本大题共5小题,共60分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程.
19.(12分)已知p:≥1,q:x2﹣2x+1﹣m2≤0(m>0),若¬p是¬q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
20.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足A=45°,cosB=.
(Ⅰ)求sinC的值;
(Ⅱ)设a=5,求△ABC的面积.
21.(12分)已知函数f(x)=cos2x﹣sinxcosx+2sin2x﹣.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)若x∈[0,],求函数f(x)的值域.
22.(12分)已知函数.
(Ⅰ)若x=1时,f(x)取得极值,求a的值;
(Ⅱ)求f(x)在[0,1]上的最小值;
(Ⅲ)若对任意m∈R,直线y=﹣x+m都不是曲线y=f(x)的切线,求a的取值范围.
23.(12分)已知函数f(x)=x2+ax﹣lnx,a∈R.
(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;
(2)令g(x)=f(x)﹣x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由;
(3)当x∈(0,e]时,证明:.
2017-2018学年天津市红桥区高三(上)期中数学试卷(理科)
参考答案
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.
1.B;2.D;3.A;4.A;5.D;6.A;7.C;8.A;9.B;10.D;11.B;12.C;
二、填空题(每小题5分,共30分)
13. 14. 15.4x-y-4=0 或y=x+2
16. 17.①③ 18.
三、 解答题(本大题共5小题,共60分)
19.(本小题满分12分)
解:由,得﹣2<x≤10.......................................3
由,
得1﹣m≤x≤1+m(m>0)................6
∵p是q的充分而不必要条件,即p是q的必要不充分条件..................8
∴解得............................................12
20.(本小题满分12分)
解: (Ⅰ)∵ ∴ .............................................2
∴.............6
(Ⅱ)
由正弦定理得,............................9
∴..............................12
21.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)∵=
=....................................................5
∴其最小正周期为....................................6
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
又∵x∈[0,],
在区间上是减函数,在区间上是增函数..................8
又f(0)=,,...........................................11
∴函数的值域为...................................................12
22.(本小题满分12分)
解:(I)∵=x2﹣a.......................................................2
当x=1时,f(x)取得极值,∴=1﹣a=0,a=1.......................3
又当x∈(﹣1,1)时,<0,x∈(1,+∞)时,>0,
∴f(x)在x=1处取得极小值,即a=1符合题意 .........................4
(II) 当a≤0时,>0对x∈(0,1]成立,
∴f(x)在(0,1]上单调递增, f(x)在x=0处取最小值f(0)=1..........6
当a>0时,令=x2﹣a=
当0<a<1时,,当时,<0,f(x)单调递减,
时,>0,f(x)单调递增.
所以f(x)在处取得最小值.........8
当a≥1时,,x∈(0,1)时,<0,f(x)单调递减
所以f(x)在x=1处取得最小值..................................10
综上所述:
当a≤0时,f(x)在x=0处取最小值f(0)=1.
当0<a<1时,f(x)在处取得最小值.
当a≥1时,f(x)在x=1处取得最小值.
(III)因为∀m∈R,直线y=﹣x+m都不是曲线y=f(x)的切线,
所以=x2﹣a≠﹣1对x∈R成立.................................11
只要=x2﹣a的最小值大于﹣1即可,
而f'(x)=x2﹣a的最小值为f(0)=﹣a
所以﹣a>﹣1,即a<1.....................................................12
23.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)在[1,2]上恒成立...............2
令h(x)=2x2+ax﹣1,有得,
得 .......................................4
(Ⅱ)假设存在实数a,使g(x)=ax﹣lnx(x∈(0,e])有最小值3,
= .............................6
①当a≤0时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3,(舍).....7
②当,即时,g(x)在上单调递减,在上单调递增
∴,a=e2,满足条件............8
③当,即时,g(x)在(0,e]上单调递减,
g(x)min=g(e)=ae﹣1=3,(舍)..................9
综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时g(x)有最小值3....................................10
(Ⅲ)因为x∈(0,e],所以要证:,只需要证:
令,由(Ⅱ)知,F(x)min=3.
令,,
当0<x≤e时,,φ(x)在(0,e]上单调递增
∴
∴,即.............................12