2017-2018学年度第一学期期中自主练习
高二数学
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若实数且,则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
2.数列的一个通项公式为( )
A. B.
C. D.
3.不等式的解集为( )
A. B. C. D.
4.若的三个内角满足,则一定是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法确定
5.中国古代数学著作《张丘建算经》(成书约公元5世纪)卷上二十三“织女问题”:今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈,问日益几何,其意思为:有一个女子很会织布,一天比一天织得快,而且每天增加的长度都是一样的,已知第一天织5尺,经过一个月30天后,共织布九匹三丈,问每天多织布多少尺?(注:1匹=4丈,1丈=10尺).
A.390 B. C. D.
6.已知等比数列的各项均为正数,且成等差数列,则( )
A.1 B.3 C.6 D.9
7.在中,,,其的面积等于,则等于( )
A. B.1 C. D.
8.已知函数的定义域为,则实数的取值范围是( )
A. B. C. 或 D.或
9.在中,已知,,,如果三角形有两解,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.在等比数列中,,,则( )
A.2 B. C.2或 D.-2或
11.若关于的不等式的解集中恰有3个整数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.已知锐角是的一个内角,是三角形中各角的对应边,若,则下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.在中,角的对边分别为,若,,,则 .
14.已知等差数列的前项和为,且, .
15.设满足约束条件,目标函数,若最大值为2,则的值等于 .
16.若关于的不等式对任意在上恒成立,则实数的取值范围是 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知等差数列的前项和为,等比数列的前项和为,且,,.
(1)若,求的通项公式;
(2)若,求.
18. 某公司生产电饭煲,每年需投入固定成本40万元,每生产1万件还需另投入16万元的变动成本,设该公司一年内共生产电饭煲万件并全部销售完,每一万件的销售收入为万元,且(),该公司在电饭煲的生产中所获年利润为(万元),(注:利润=销售收入-成本)
(1)写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式,并求年利润的最大值;
(2)为了让年利润不低于2360万元,求年产量的取值范围.
19. 位于处的雷达观测站,发现其北偏东,与相距海里的处有一货船正以匀速直线行驶,20分钟后又测得该船只位于观测站北偏东()的处,,在离观测站的正南方某处,测得.
(1)求;
(2)求该船的行驶速度(海里/小时)
20. 设的内角的对应边分别为,若向量与向量
共线,且.
(1)求;
(2)若外接圆的半径为14,求的面积.
21. 在数列中,,前项和满足.
(1)求证:当时,数列为等比数列,并求通项公式;
(2)令,求数列的前项和为.
22.设函数
(1)当时,求函数的值域;
(2)若,求不等式恒成立时实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: BDACD 6-10: DCAAC 11、12:DB
二、填空题
13. 14. 72 15.2 16.
三、解答题
17.解:设的公差为,的公比为,则
由得: ①
(1)由得: ②
联立①和②解得(舍去),,
因此的通项公式
(2)由得
解得
当时,由①得,则.
当时, 由①得,则.
18.解:(1)
,
当且仅当时,“=”成立,
,即年利润的最大值为2760.
(2) 解:
整理得,
解得:,又,所以时
答:为了让年利润不低于2360万元,年产量的范围是.
19. 解:(1)
(2)利用余弦定理
该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为海里,
该船的行驶速度(海里/小时).
20.解: (1)由共线,得,所以
设,由已知,,即
从而,
(2)由正弦定理,得 .
由(1)设即,所以
所以
所以的面积为.
21.解:(1)
当时,得,
得
(2)当时,
当时,
当时,
当时,
令
经检验时,也适合上式.
.
22.解:(1)由题意得,当时,
在上单调递增,
的值域为.
(2)由不等式恒成立,
有恒成立,即
而
解得或.
高二数学参考答案及评分标准
选择题
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解:设的公差为,的公比为,则
由得: ① ………………2分
(1)由得: ② ………………4分
联立①和②解得(舍去),, ………………5分
因此的通项公式 ………………6分
(2)由得 ………………7分
解得 ………………8分
当时,由①得,则. ………………10分
当时, 由①得,则. ………………12分
18.解:(1) ……3分
,
当且仅当时,“=”成立, ………………5分
,即年利润的最大值为2760. ………………6分
(2) 解: ………………7分
整理得, ………………9分
解得:,又,所以时 ………………11分
答:为了让年利润不低于2360万元,年产量的范围是. ………………12分
19. 解:(1)…… 2分
……………… 5分
(2)利用余弦定理 … 9分
该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为海里,
该船的行驶速度(海里/小时). ……………… 12分
20.解: (1)由共线,得,所以 …… 2分
设,由已知,,即
………… 4分
从而, ………… 6分
(2)由正弦定理,得 . ………… 8分
由(1)设即,所以 ………… 9分
所以 ………… 11分
所以的面积为. ………… 12分
21.解:(1) ………… 1分
当时,得, ………… 2分
得 ………… 4分
………… 5分
(2)当时,
当时, ………… 7分
当时,
当时, ………… 8分
令
………… 11分
经检验时,也适合上式.
. ………… 12分
22.解:(1)由题意得,当时, …………2分
在上单调递增,
的值域为. ………………5分
(2)由不等式恒成立,
有恒成立,即 ………………6分
而 ………………8分
解得或. ………………10分