2017-2018学年天津市红桥区高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0平行，则直线l的方程是（ ）
A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y+7=0 C．2x﹣3y+5=0 D．2x﹣3y+8=0
2．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
3．如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，则a=（ ）
A．﹣3 B．﹣ C．﹣6 D．
4．在空间，下列命题正确的是（ ）
A．如果平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β．
B．如果直线a与平面β内的一条直线平行，则a∥β
C．如果直线a与平面β内的两条直线都垂直，则a⊥β
D．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则α∥β
5．若直线过点（1，2），（4，2+）则此直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
6．若圆心在x轴负半轴上，半径为的圆O，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是（ ）
A．（x﹣）2+y2=5 B．（x+）2+y2=5 C．（x﹣5）2+y2=5 D．（x+5）2+y2=5
7．如图所示，在立体图形D﹣ABC中，若AB=BC，AD=CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是（ ）
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
8．函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
9．圆C：x2+y2+2x+4y=0的圆心到直线3x+4y=4的距离d= ．
10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成角的度数是 ．
11．空间直角坐标系中的点A（2，3，5）与B（3，1，4）之间的距离是 ．
12．已知x，y满足方程（x﹣2）2+y2=1，则的最大值为 ．
13．已知两条不同直线m、n，两个不同平面α、β，给出下面四个命题：
①m⊥α，n⊥α⇒m∥n；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n
③m∥n，m∥α⇒n∥α； ④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．
其中正确命题的序号是 ．
三、解答题（共4小题，满分48分）
14．（10分）已知，圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；
（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程．
15．（12分）已知圆C的圆心在直线l：y=2x上，且经过点A（﹣3，﹣1），B（4，6）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）点P是直线l上横坐标为﹣4的点，过点P作圆C的切线，求切线方程．
16．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．求证：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．
17．（14分）如图：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=3，PA⊥底面ABCD，E是PC中点，F是AB中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PDF；
（Ⅱ）求直线PD与平面PFB所成角的正切值；
（Ⅲ）求三棱锥P﹣DEF的体积．
2017-2018学年天津市红桥区高二（上）期中数学试卷（文科）
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．D；2．B；3．C；4．A；5．A；6．D；7．C；8．B；
二、填空题 每题4分
9.
10.
11.
12.
13. ①④
三、解答题
14.将圆，
则此圆的圆心为,半径为......................................................................................2分
(Ⅰ)若直线与圆相切,则有.................................................................4分
计算得出............................................................................................................5分
(Ⅱ)因为,所以
.........................................................7分
两边平方并代入计算得出:或,..............................................................9分
则直线的方程是和...................................................10分
15.（Ⅰ）设圆的方程：.............................................................1分
...........................................................................................................2分
，，
解出：，， .........................................................................5分
所以圆的方程为； .........................................6分
（Ⅱ）因为 ..............................................................................................7分
①若斜率存在，设切线方程为， .........................................8分
即，所以圆心到直线的距离为， ...........9分
解得， ...................................................................................10分
所以切线方程为：。 .....................11分
②若切线斜率不存在，则切线方程为（满足题意）； .......................12分
16. 解:(Ⅰ)证明:底面,. ...................2分
又,
,故面, ...................4分
面, 故 ..................5分
(Ⅱ)证明:, ,故,
是的中点,故, ..................7分
由(Ⅰ)知，,从而面.............8分
故 ..................9分
又因为底面，， ..................10分
且，,
所以平面， ...................................................11分
则,
故面. .................12分
17.（Ⅰ）证明：取中点，连，; .................1分
因为，分别为，中点，所以，∥;
且是中点，，∥;
且∥，
则四边形为平行四边形 .........................................................2分
所以∥，且平面; 平面； .................4分
（Ⅱ）解：因为⊥底面，底面，所以⊥；.................5分
又因为底面是菱形，=2，=1，∠=，则,
+=，⊥， .....................................................6分
且, 所以⊥平面, ....................................................7分
则是在平面内的射影， ..............................................8分
∠为直线与平面所成角， ..............................................9分
== ..............................................10分
（Ⅲ）解：因为是中点，点到平面的距离等于点到平面的距离,
.................11分
=................12分
= ................14分
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