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2017年秋“九校联盟”高二年级期中测试
数 学 试 题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1.若两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
2．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3.的斜二测直观图如图所示，则的面积为( )
A． B. C. D.
4. 对于任意的直线l与平面a,在平面a内必有直线m,使m与l ( )
A.平行 B. 垂直 C. 相交 D.互为异面直线
5.已知ab＜0，bc＜0，则直线ax＋by＝c通过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
6.直线，若,则（ ）
A．-3 B．2 C．-3或2 D．3或-2
7．一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
8.过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是 ( )
A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0
C.x+3y-7=0 D.x-2y+3=0
9.如右题图所示，在正四棱锥中，分别是
的中点，动点在线段上运动时，下列结论中不恒成立的是( )
A. ∥ B. ∥面
C. ⊥ D. 与异面
10. 直线L过点，若到直线L的距离为2，则直线L的方程为（ ）
A．或 B．
C．或 D.
11.三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上,且，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A．4 B．3 C． D．
12.如右题图所示，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则下列命题正确的是( )
①⊥平面
②
③点是的垂心
④平面
A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.两直线与之间的距离为 .
14.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视
图、侧视图、俯视图均如右图所示，且图中的四边形是边长为2的正方
形，则该球的表面积是_______ 。
15. 当a取不同实数时，直线恒过一个定点，这个定点的坐标为 。
16.函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 。
三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余每题12分，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）
17.（10分）在△ABC中，已知A(5,-2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：
(1)顶点C的坐标； (2)直线MN的方程；
18.（12分）如图，棱柱 的侧面 是菱形， 。
（1）证明：平面 ；
（2）设D是 上的点且 ，求 的值。
19.(12分)已知点，，,，点在线段垂直平分线上，求
（1）求线段垂直平分线方程。
（2）求使取得最小值时点的坐标。
20.（12分）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，面⊥面，△是等边三角形，， ，是线段的中点．
(1)求四棱锥的体积；
(2)求与平面所成角的正弦值．
21.（12分）如图所示，已知四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面， .
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）（文科生做）求四棱锥的表面积；
（3）（理科生做）求二面角的大小；
22.（12分）已知直线L与两条平行直线和分别相交于M、N两点，且直线L过点A（1，0）。
（1）若，求直线L的方程。 （2）求证：的值为定值。
1.C 2.A 3D 4.B 5.C 6.A 7.A 8.A 9.A 10.C 11.B 12.C
13. 14. 15. 16.
17.解： (1)设C(x0，y0)，则AC中点M，BC中点N，….3分
∵M在y轴上，∴=0，x0=-5。……..4分
∵N在x轴上，∴=0，y0=-3。.即C(-5,-3)。………….6分
(2)∵M，N(1,0)，∴直线MN的方程为=1，即5x-2y-5=0………4分.
18. （1）∵四边形是菱形
∴⊥……………………2分
又∵
∴⊥平面………………4分
∴平面………6分
（2）若与相交于O，连接DO…………7分
∵ ∴…………9分
又∵O为的中点 ∴D为的中点………11分
∴的值为1……………………12分
19.（1）线段CD中点为M，，………………..2分
∴线段CD垂直平分线的斜率为………………….4分
∴线段CD垂直平分线方程为：，即……….6分
（2）设，……………..7分
则…..9分
当时，取得最小值，即P…………12分
20.解：(1)由△是等边三角形，是线段的中点．
所以PE⊥AB,面PAB面ABCD知：平面，…… 3分
所以是四棱锥高．由，，可得．因为△是等边三角形，可求得．
所以．………6分
（2）过C做CM⊥DE于M，连接CE、PM
所以∠CPM就为直线PC在平面PED上所成的角。………8分
因为
所以，而………10分
所以………12分
21（1）取BC的中点F，连接AF交BD于E，连接PF
在梯形ABCD中，AF∥CD，则∠FAP为异面直线PA与CD所成角…………..2分
在△PFA中，
则∠FAP=，∴异面直线PA与CD所成角为………………………………5分
（2）（文科做）在梯形ABCD中，易求CD=，BD=，PD= PA=……7分
∵BC=2
∴CD⊥BD ∵PB⊥平面ABCD ∴PB⊥CD ∴CD⊥平面PCD
∴CD⊥PD ∴……………………9分
又∵DA//BC BC⊥AB PB⊥平面ABCD
∴都为直角三角形
∴
∵…………………………………………..11分
∴四棱锥的表面积为：+++1+=………..12分
（3）（理科做）连接AF交BD于E，过E作EG⊥PD于G，连接AG
∵PB⊥平面ABCD
∴平面PBD⊥平面ABCD……………………………………7分
在菱形ABFD中，AE⊥BD，则AE⊥平面PBD
∵BG⊥PD
∴AG⊥PD
∴∠AGE为二面角A-PD-B的平面角……………………10分
在△AGE中，则
所以，故二面角A-PD-B的大小为………….12分
22.解：（1）若L的斜率不存在，方程为：
则，与题意不符……………………….2分
若L的斜率存在，则设L的方程为：
由可得
同理渴求，………………………………………4分
因为，所以；
或；所以L的方程为：或………6分
（2）由（1）题可知：斜率不存在时…………….8分
斜率存在时
综上述：的值为定值………………..12分
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