2018届高三数学上学期期中试卷(理科含答案华中师大一附中)
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资料简介
www.ks5u.com 华中师大一附中2017-2018学年度上学期高三年级期中检测 数学(理)试题 第I卷 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数,则下列命题中正确的个数为 ‎① ② ③的虚部为 ④在复平面上对应点在第一象限 A.1 B.2 C.3 D.4 ‎ ‎2.下列函数为偶函数且在(0,+∞)上为增函数的是 A. B.‎ C. D.‎ ‎3.已知集合,集合,则集合且为 A. B. ‎ C. D.‎ ‎4.下列说法正确的是 A.“,若,则且”是真命题 B.在同一坐标系中,函数与的图象关于轴对称.‎ C.命题“,使得”的否定是“,都有”‎ 第5题图 D.,“ ”是“”的充分不必要条件 ‎5.如图,在中,,是上的一点,‎ 若,则实数的值为 ‎ A. B. C.1 D.3‎ ‎6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女子善织,日益功,疾,初日织五尺,今一月织七匹三丈(1匹=尺,一丈=尺),问日益几何?”其意思为:“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,第一天织尺,一月织了七匹三丈,问每天增加多少尺布?”若这一个月有天,记该女子一个月中的第天所织布的尺数为,则的值为 A. B. C. D.‎ ‎7.若,则的值为 A. B. C. D.‎ ‎8.某食品的保鲜时间(单位:小时)与储存温度(单位:)满足函数关系(为自然对数的底数,为常数),若该食品在0的保鲜时间是小时,在的保鲜时间是小时,则该食品在的保鲜时间是(  )小时.‎ A. B. C. D. ‎ 第9题图 ‎9.已知函数的部分图像如所示,为了得到的图像需将的图像 A.向右平移个单位长度 ‎ B.向左平移个单位长度 ‎ C.向右平移个单位长度 ‎ D.向左平移个单位长度 ‎10.已知定义在上的偶函数,满足,且时,,则方程在区间[]上根的个数是 A. B. C. D.‎ ‎11.在和中,是的中点,,若,则与的夹角的余弦值为 A. B. C. D. ‎ ‎12.设函数(其中为自然对数的底数)恰有两个极值点,则下列说法中正确的是 A. B. ‎ C. D. ‎ 第II卷 二、填空题(每题5分,共20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.函数的单调递增区间是________.‎ ‎14.已知向量,,且,则 .‎ ‎15.已知数列的通项公式为,当 取得最大值时,的值为_________.‎ ‎16.若函数满足(其中),则称函数为“中心对称函数”,称点为函数的“中心点”.现有如下命题:‎ ①函数是“中心对称函数”;‎ ②若“中心对称函数”在上的“中心点”为,则函数是上的奇函数;‎ ③函数是“中心对称函数”,且它的“中心点”一定为;‎ ④函数是“中心对称函数”,且它的“中心点”一定为.‎ 其中正确的命题是___ _____.(写出所有正确命题的序号)‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知向量,,函数.‎ ‎(Ⅰ)求的对称中心;‎ ‎(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值,并求出相应的值.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知函数=+().‎ ‎(Ⅰ)当时,若方程-=0有解,求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)试讨论的奇偶性.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 已知数列,,为数列的前项和,且满足,,().‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)试问能否为等差数列,请说明理由;‎ ‎(III)若数列的通项公式为,令为的前项的和,求.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知函数(,为自然对数的底数).‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若,函数在上为增函数,求实数的取值范围.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 如图所示,某住宅小区一侧有一块三角形空地,其中 ‎.物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖,其中都在边上(不与重合,在之间),且.‎ ‎(Ⅰ)若在距离点处,求点之间的距离;‎ 第21题图 ‎ ‎(Ⅱ)为节省投入资金,三角形人工湖的面积要尽可能小.试确定的位置,使的面积最小,并求出最小面积.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知数列满足.‎ ‎(Ⅰ)设,,证明:;‎ ‎(Ⅱ)证明:(为自然对数底数);‎ ‎(Ⅲ)设 ,,试比较与与的大小关系,并说明理由.‎ ‎ ‎ ‎1. C ‎ ‎2. D ‎ ‎3. D ‎ ‎4. B ‎ 第6题图 ‎5. A ‎ ‎6. B ‎ ‎7. C ‎ ‎8. C ‎ ‎9. A  ‎ ‎10. B ‎ ‎11. B ‎ ‎12. C ‎ 第II卷 二、填空题:每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上.‎ ‎13. 或 ‎ ‎14. ‎ ‎15. ‎ ‎16.①②③‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. ‎ 解:(I)因为=‎ ‎=‎ ‎= ………4分 ‎ 所以的对称中心为 ……………5分 ‎ (II)由(I)得,==, …………7分 因为,所以,‎ 所以当时,即时,的最大值是; ‎ 当时,即时,的最小值是. …………10分 ‎18.(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)由==-,∴==.‎ ‎∵,∴≥. ……………………………………6分 ‎(Ⅱ)依题意得定义域为,关于原点对称 ‎ ‎∵+,-,‎ 令,得=,即=,‎ ‎∴对一切恒成立.‎ ‎∴时,此时函数是偶函数……………………9分 ‎∵,∴函数不是奇函数,‎ 综上,当时,函数是偶函数;当时,函数是非奇非偶函数. …………12分 ‎19、(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)当时,,‎ 当时,由,得:,则,‎ 综上,是公比为2,首项为2的等比数列,;………………3分 ‎(Ⅱ)是等差数列,理由如下:‎ ‎∵,∴,∵,∴‎ 综上,是公差为1,首项为1的等差数列,且;…7分 ‎(Ⅲ)令 ‎ ‎ ①-②,得:‎ ‎ 所以. ……………… ………12分 ‎20.(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)函数的定义域为,.‎ 当时,,∴在上为增函数;‎ 当时,由得,‎ 当时,,∴函数在上为减函数,‎ 当时,,∴函数在上为增函数……4分 ‎(Ⅱ)当时,,‎ ‎∵在上为增函数;∴在上恒成立,即在上恒成立, …………………………6分 令,,则,‎ 令,在上恒成立,‎ 即在上为增函数,即,‎ ‎∴,即在上为增函数,∴,‎ ‎∴,所以实数的取值范围是. ………………12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)在中,因为,所以,‎ 在中,由余弦定理得:,‎ 所以,‎ 所以,‎ 在中,‎ ‎,‎ 在中,由,得;… ………6分 ‎(Ⅱ)解法1:设 ,‎ 在中,由,得,‎ 在中,由,得,‎ 所以 ‎==‎ ‎= ‎ ‎=.‎ 当,即时,的最小值为.‎ 所以应设计,可使△OMN的面积最小,最小面积是km2…12分 解法2:设AM=x,0<x<3.在△OAM中,由余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AO·AM·cosA=x2-3x+9,‎ 所以OM=,所以cos∠AOM==,‎ 在△OAN中,sin∠ONA=sin(∠A+∠AON)= sin(∠AOM+90°)=cos∠AOM=,‎ 由=,得ON=·=,‎ 所以S△OMN=OM·ON·sin∠MON=···=,0<x<3,‎ 令6-x=t,则x=6-t,3<t<6,则:‎ S△OMN==(t-9+)≥·(2-9)=.当且仅当t=,即t=3,x=6-3时等号成立,S△OMN的最小值为,‎ 所以M的位置为距离A点6-3 km处,可使△OMN的面积最小,最小面积是 km2.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)即证:,‎ 即证:,‎ 设,,‎ ‎∵当时,,在上单调递增,‎ 当时,,在上单调递减,‎ ‎∴(当且仅当时等号成立),‎ 即时,有,‎ ‎∴,‎ ‎∴ ……………………………4分 ‎(用数学归纳法给分)‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知:当且时,有,‎ 即当且时,有,‎ 因为,所以 ,‎ 即 ………………………………………8分 ‎(Ⅲ),理由如下: ‎ 解法一:由(Ⅱ)知:‎ ‎,‎ ‎ 设 ,因为,‎ ‎,‎ 所以 ………………12分 解法二:因为, 且,所以 下面用数学归纳法证明:‎ 时,,即,‎ ‎①当时,左边,即当时不等式成立;‎ ‎②假设当时不等式成立,即,‎ ‎ 则当时,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ 所以当时,不等式也成立;‎ 综合①②时,,‎ 即成立,‎ 所以.‎

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