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华中师大一附中2017-2018学年度上学期高三年级期中检测
数学(理)试题
第I卷
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数,则下列命题中正确的个数为
① ② ③的虚部为 ④在复平面上对应点在第一象限
A.1 B.2 C.3 D.4
2.下列函数为偶函数且在(0,+∞)上为增函数的是
A. B.
C. D.
3.已知集合,集合,则集合且为
A. B.
C. D.
4.下列说法正确的是
A.“,若,则且”是真命题
B.在同一坐标系中,函数与的图象关于轴对称.
C.命题“,使得”的否定是“,都有”
第5题图
D.,“ ”是“”的充分不必要条件
5.如图,在中,,是上的一点,
若,则实数的值为
A. B. C.1 D.3
6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女子善织,日益功,疾,初日织五尺,今一月织七匹三丈(1匹=尺,一丈=尺),问日益几何?”其意思为:“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,第一天织尺,一月织了七匹三丈,问每天增加多少尺布?”若这一个月有天,记该女子一个月中的第天所织布的尺数为,则的值为
A. B. C. D.
7.若,则的值为
A. B. C. D.
8.某食品的保鲜时间(单位:小时)与储存温度(单位:)满足函数关系(为自然对数的底数,为常数),若该食品在0的保鲜时间是小时,在的保鲜时间是小时,则该食品在的保鲜时间是( )小时.
A. B. C. D.
第9题图
9.已知函数的部分图像如所示,为了得到的图像需将的图像
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
10.已知定义在上的偶函数,满足,且时,,则方程在区间[]上根的个数是
A. B. C. D.
11.在和中,是的中点,,若,则与的夹角的余弦值为
A. B. C. D.
12.设函数(其中为自然对数的底数)恰有两个极值点,则下列说法中正确的是
A. B.
C. D.
第II卷
二、填空题(每题5分,共20分,将答案填在答题纸上)
13.函数的单调递增区间是________.
14.已知向量,,且,则 .
15.已知数列的通项公式为,当 取得最大值时,的值为_________.
16.若函数满足(其中),则称函数为“中心对称函数”,称点为函数的“中心点”.现有如下命题:
①函数是“中心对称函数”;
②若“中心对称函数”在上的“中心点”为,则函数是上的奇函数;
③函数是“中心对称函数”,且它的“中心点”一定为;
④函数是“中心对称函数”,且它的“中心点”一定为.
其中正确的命题是___ _____.(写出所有正确命题的序号)
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分10分)
已知向量,,函数.
(Ⅰ)求的对称中心;
(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值,并求出相应的值.
18.(本小题满分12分)
已知函数=+().
(Ⅰ)当时,若方程-=0有解,求实数的取值范围;
(Ⅱ)试讨论的奇偶性.
19.(本小题满分12分)
已知数列,,为数列的前项和,且满足,,().
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)试问能否为等差数列,请说明理由;
(III)若数列的通项公式为,令为的前项的和,求.
20.(本小题满分12分)
已知函数(,为自然对数的底数).
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)若,函数在上为增函数,求实数的取值范围.
21.(本小题满分12分)
如图所示,某住宅小区一侧有一块三角形空地,其中
.物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖,其中都在边上(不与重合,在之间),且.
(Ⅰ)若在距离点处,求点之间的距离;
第21题图
(Ⅱ)为节省投入资金,三角形人工湖的面积要尽可能小.试确定的位置,使的面积最小,并求出最小面积.
22.(本小题满分12分)
已知数列满足.
(Ⅰ)设,,证明:;
(Ⅱ)证明:(为自然对数底数);
(Ⅲ)设 ,,试比较与与的大小关系,并说明理由.
1. C
2. D
3. D
4. B
第6题图
5. A
6. B
7. C
8. C
9. A
10. B
11. B
12. C
第II卷
二、填空题:每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上.
13. 或
14.
15.
16.①②③
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.
解:(I)因为=
=
= ………4分
所以的对称中心为 ……………5分
(II)由(I)得,==, …………7分
因为,所以,
所以当时,即时,的最大值是;
当时,即时,的最小值是. …………10分
18.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由==-,∴==.
∵,∴≥. ……………………………………6分
(Ⅱ)依题意得定义域为,关于原点对称
∵+,-,
令,得=,即=,
∴对一切恒成立.
∴时,此时函数是偶函数……………………9分
∵,∴函数不是奇函数,
综上,当时,函数是偶函数;当时,函数是非奇非偶函数. …………12分
19、(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)当时,,
当时,由,得:,则,
综上,是公比为2,首项为2的等比数列,;………………3分
(Ⅱ)是等差数列,理由如下:
∵,∴,∵,∴
综上,是公差为1,首项为1的等差数列,且;…7分
(Ⅲ)令
①-②,得:
所以. ……………… ………12分
20.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)函数的定义域为,.
当时,,∴在上为增函数;
当时,由得,
当时,,∴函数在上为减函数,
当时,,∴函数在上为增函数……4分
(Ⅱ)当时,,
∵在上为增函数;∴在上恒成立,即在上恒成立, …………………………6分
令,,则,
令,在上恒成立,
即在上为增函数,即,
∴,即在上为增函数,∴,
∴,所以实数的取值范围是. ………………12分
21.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)在中,因为,所以,
在中,由余弦定理得:,
所以,
所以,
在中,
,
在中,由,得;… ………6分
(Ⅱ)解法1:设 ,
在中,由,得,
在中,由,得,
所以
==
=
=.
当,即时,的最小值为.
所以应设计,可使△OMN的面积最小,最小面积是km2…12分
解法2:设AM=x,0<x<3.在△OAM中,由余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AO·AM·cosA=x2-3x+9,
所以OM=,所以cos∠AOM==,
在△OAN中,sin∠ONA=sin(∠A+∠AON)= sin(∠AOM+90°)=cos∠AOM=,
由=,得ON=·=,
所以S△OMN=OM·ON·sin∠MON=···=,0<x<3,
令6-x=t,则x=6-t,3<t<6,则:
S△OMN==(t-9+)≥·(2-9)=.当且仅当t=,即t=3,x=6-3时等号成立,S△OMN的最小值为,
所以M的位置为距离A点6-3 km处,可使△OMN的面积最小,最小面积是 km2.
22.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)即证:,
即证:,
设,,
∵当时,,在上单调递增,
当时,,在上单调递减,
∴(当且仅当时等号成立),
即时,有,
∴,
∴ ……………………………4分
(用数学归纳法给分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:当且时,有,
即当且时,有,
因为,所以 ,
即 ………………………………………8分
(Ⅲ),理由如下:
解法一:由(Ⅱ)知:
,
设 ,因为,
,
所以 ………………12分
解法二:因为, 且,所以
下面用数学归纳法证明:
时,,即,
①当时,左边,即当时不等式成立;
②假设当时不等式成立,即,
则当时,
,
,
,
,
所以当时,不等式也成立;
综合①②时,,
即成立,
所以.