2017-2018学年山东省烟台市高三(上)期中数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知集合A={x|x2﹣2x<0},B={x|23﹣2x>1},则A∩B=( )
A.(0,) B.(,2) C.(2,+∞) D.∅
2.下列函数中,满足“f(x•y)=f(x)+f(y)”的单调递增函数是( )
A.f(x)=x2 B.f(x)=log2x C.f(x)=2x D.f(x)=log0.5x
3.已知=(1,m),=(3,﹣2),且()⊥,则||=( )
A.52 B.2 C.2 D.2
4.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),图象关于y轴对称,当﹣3≤x≤0时,f(x)=﹣(x+2)2,则f(2017)=( )
A.1 B.2 C.0 D.﹣1
5.已知tan()=﹣3,tan()=2,则tan(α﹣β)=( )
A.1 B.﹣ C. D.﹣1
6.设a=log38,b=21.1,c=0.81.1,则a,b,c的大小关系是( )
A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<c<b
7.函数y=的部分图象大致为( )
A. B. C. D.
8.将函数y=sin(2x+)的图象向左平移个单位长度得到f(x)的图象,则( )
A.f(x)=cos2x B.f(x)的图象关于(﹣,0)对称
C.f()= D.f(x)的图象关于直线x=对称
9.已知各项均不为0的等差数列{an}满足a2﹣2a82+3a10=0,数列{bn}是等比数列,且b8=a8,则b2b9b13=( )
A.1 B.2 C.4 D.8
10.已知函数f(x)=3x,f(a)f(b)=9,若a>0,b>0,则ab的最大值为( )
A. B.2 C.1 D.4
11.如图,已知△OAB,若点C满足,则=( )
A. B. C. D.
12.已知函数f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,0) B.(0,) C.(0,1) D.(0,+∞)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.在锐角△ABC中,已知AB=4,AC=5,三角形的面积为5,则BC= .
14.若变量x,y满足约束条件,且z=5y﹣x,则z的取值范围为 .
15.不等式log(y2﹣2y+65)≤3x+对任意实数x,y都成立,则常数a的最小值为 .
16.设函数D(x)=,则下列结论正确的是
(1)D(x)的值域为{0,1};
(2)D(x)是偶函数;
(3)D(x)是周期函数;
(4)D(x)不是单调函数.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(12分)已知=(sinx,cos(﹣x)),=(2cosx,﹣2sinx),若f(x)=•.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)求f(x)在区间[0,]上的最大值.
18.(12分)设f(x)=6lnx﹣m(x﹣5)2,其中m∈R,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).
(1)确定m的值;
(2)求函数f(x)的单调区间和极值.
19.(12分)烟台苹果是山东名优特产之一,素以风味香甜,酥脆多汁享誉海内外,历来为市场所欢迎.假设某水果批发市场每天的销售量y(单位吨)与销售价格x(元/千克)近似地满足关系式y=+4(x﹣6)2(2<x<6),已知烟台苹果销售价格为4元/千克时,每天可售出21吨.
(1)求m的值;
(2)如果售出去的苹果经核算成本为每千克2元,则销售价格定为多少时该市场每天获得的利润最大?
20.(12分)已知Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,且an2+2an=4Sn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{an•bn}的前n项和Tn.
21.(12分)已知函数f(x)=﹣(a+1)x+alnx.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当f(x)有最小值时,且最小值小于﹣ln(﹣a)时,求a的取值范围.
22.(10分)已知函数f(x)=|x+2|﹣|x﹣1|.
(1)求不等式f(x)≤1的解集;
(2)若存在实数x使得f(x)≥x2+m成立,求实数m的取值范围.
2017-2018学年山东省烟台市高三(上)期中数学试卷(文科)
参考答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.A;2.B;3.B;4.D;5.A;6.B;7.C;8.B;9.D;10.C;11.D;12.B;
二、填空题:
13. 14. 15. 16. ⑴ ⑵ ⑶ ⑷
三、解答题:
17. 解:(1)………(2分)
令
解得 ……………… (4分)
∴的单调递增区间为 ……………… (6分)
(2) 由得 ∴ 当……………… (2分)
即时, 取得最大值 . ……………… (12分)
18.解:(1)
令 ,得, ………… (3分)
故曲线在处的切线方程为:
,切线与轴相交于,
∴,∴ ……………… (6分)
(2)由(1)得
令,得或 ……………… (8分)
当或时,,故在,上为增函数;
当时,,故在上为减函数.
∴在时,取得极大值,
在时,取得极小值 ……………… (12分)
19. 解:(1)由代入
解得 . ……………… (4分)
(2) 由(1)知每天的销售量
设该市场每天所获得的利润(单位:千元)
则
……………… (6分)
……………… (8分)
令得且在上,函数单调递增,
在上函数单调递减.
所以是的极大值点也是最大值点,所以时,取得最大值,
故销售价格(元/千克),利润最大. ……………… (12分)
20.解:(1)
当时,
两式相减得
因为,所以
∴数列是以为公差的等差数列. ……………… (4分)
当时,
∴ ∴ ……………… (6分)
(2)由(1)得 ∴ ……………… (8分)
∴ ……… ①
……… ②
① -②得
∴ ∴ ……………… (12分)
21.解:(1)函数的定义域为
……………… (2分)
① 当时,令得或 ,令得
∴的递增区间是和;递减区间是
②当时,恒成立,所以的递增区间是
③当时 令得或 ;令得
∴的递增区间是和,递减区间是
④ 当时,令得,令得
∴的递增区间是,递减区间是 ……………… (6分)
(2)由(1)知当时,在取得最小值,
最小值为 …………… (8分)
∴等价于
令则在单调递减且 …………… (10分)
∴当时,
当时,
当时,
∴的取值范围是 ……………… (12分)
22. 解:(1) …………… (2分)
当时,成立;
当时,解得;
当时无解.
∴的解集为 ……………… (5分)
(2)由成立,得到存在实数使得成立
即小于等于的最大值, ……………… (7分)
而
且当时
∴的取值范围为 ……………… (10分)