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2019年安庆市高三模拟考试（二模）
数学试题（理科）答案
一、 选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
C
D
D
B
A
B
A
D
C
D
1. 解析：由条件知， A错；，B错；，C正确；，D错误. 故选C.
2. 解析：根据全称命题的否定是特称命题，只有B正确. 故选B.
3. 解析：根据程序框图可知：
；
；，. 故选C.
4. 解析：由，可得，
，即.
又，，则，.
故 即. 故选D .
5. 解析：作出可行域，可知当，时，目标函数取到最小值，最小值为. 故选D.
6. 解析：该几何体是一个长方体，其长、宽、高分别为，，，其体积为. 故选B.
7. 解析：由、的坐标可知，函数的图象有对称轴，，故，
理科数学答案（共10页）第1页
可得函数的一个单调递增区间为，则的递增区间为，. 故选A.
8. 解析：设，则，，，故时，；时，；时，. 故选B.
9. 解析：不妨设点在双曲线的右支上，则.因为，所以，.由点到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半可知，，所以，即，得.
所以双曲线的离心率.故选A.
10. 解析：由，得，得．
又，由余弦定理得，
得. 故选D．
11.解析：，，.故选C．
12. 解析：函数的定义域与值域相同等价于方程有两个不同的实数解. 因为，所以问题等价于直线与函数的图象有两个交点. 作函数的图象，如图所示. 根据图象可知，当时，即时，直线与函数的图象有两个交点.选D.
理科数学答案（共10页）第2页
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：
题号
13
14
15
16
答案
13.解析：由已知得，于是，，.
14. 解析：展开式的通项公式为. 由，得，所以一次项的系数为. 由，得.
15. 解析：是上周期为5的奇函数，．
16. 解析：由作法可知，弧（Ⅰ）为抛物线弧，则实线围成的区域面积为.
三、解答题：
17. 解析：（Ⅰ）由① ，得（，）②.
①- ②，得，即（，）.
………………3分
由，，得，
所以（），所以数列是首项和公比都为的等比数列，
因此，.
……………… 6分
（Ⅱ）由，得，
……………… 7分
理科数学答案（共10页）第3页
所以，
………………9分
所以
.
……………… 12分
18.解析：（Ⅰ）在图1中，因为，
所以在图2中有，，
……………2分
又因，所以平面，
……………4分
因平面，故.
………………5分
（Ⅱ）因为，，，所以平面.
又，以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图1所示的空间直角坐标系，
设，，
则，.
……………6分
设平面的法向量为，
由.
取，即，……………8分
取平面的法向量为，
……………9分
理科数学答案（共10页）第4页
，即.
……………10分
设直线与平面所成角为，.
所以直线与平面所成角的正弦值为.……………… 12分
注：（Ⅱ）另解
根据题设可将四棱锥补成直四棱柱，且平面与平面所成二面角的平面角为，如图2所示.
设，则，由，得.
作，为垂足，易知平面. 连接，则就是直线与平面所成角..
19. 解析:（Ⅰ）抽取的一件药品的主要药理成分含量在之内的概率为0．9974，
………………1分
从而主要药理成分含量在之外的概率为0．0026，………………2分
故．………………4分
理科数学答案（共10页）第5页
因此，
………………5分
的数学期望为．
………………6分
（Ⅱ）（1）由，，得的估计值为，的估计值为，
………………7分
由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分(9.22)含量在之外，因此需对本次的生产过程进行检查．
………………8分
（2）设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件，则；
…………………10分
如果在一天中，需停止生产并对原材料进行检测，则在一天的四次检测中，有连续两次出现了主要药理成分含量在之外的药品，故概率为.
故确定一天中需对原材料进行检测的概率为.
…………………12分
20. 解析：（Ⅰ）根据题意可得
解得，.
故椭圆的标准方程为.
……………… 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当直线的斜率不存在时，，于是；
………………6分
理科数学答案（共10页）第6页
当直线的斜率存在时，设直线，设，，
联立得，
根据韦达定理得，
………………8分
于是
………………10分
.
当且仅当时等号成立，此时的最大值为.
综上，的最大值为.
………………12分
21. 解析：（Ⅰ）的定义域为
所以.
……………… 2分
① 当时，，所以在上为减函数；
② 当时，，所以在上为减函数，在上为增函数.
……………… 5分
（Ⅱ）法1：要证，即证，即
………………6分
理科数学答案（共10页）第7页
由得，所以只要证.
………………7分
不妨设，则只要证.
………………8分
令，则只要证明当时，成立.
………………10分
设，，则，
所以函数 在上单调递减，所以，即成立.
………………11分
由上分析可知，成立.
……………… 12分
法2：要证，即证，即.
………………6分
令，，下证.
………………7分
由.得，即.
令，，.
由，所以在上为减函数，在上为增函数.
………………8分
设，.
理科数学答案（共10页）第8页
令.
……………… 10分
，，.
所以在上为减函数，，
即，.
……………… 11分
又因为在上为增函数，所以，即.
故，得证.
……………… 12分
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号
22．解析：（Ⅰ）由得，即.
………………2分
直线的普通方程为，被圆截得的弦长为，所以圆心到的距离为，即，解得.
……………… 5分
（Ⅱ）法1：当时，将的参数方程代入圆C的直角坐标方程得，
，即.
由于，故可设是上述方程的两实根，所以
又直线过点，故由上式及的几何意义，
得 ==.
………………10分
理科数学答案（共10页）第9页
法2：当时点，易知点在直线上. 又，
所以点在圆外.
联立消去得，.
不妨设、，所以=.
23.解析：（Ⅰ），即.
① 当时，，得；
② 当时，，得，不成立；
③ 当时，，得.
综上，所求的的取值范围是.
………………5分
（Ⅱ）因为，
所以.
………………8分
因为，时，，所以，得，
所以.
………………10分
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