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2019年安庆市高三模拟考试（二模）
文科数学试题参考答案
一、 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是符合要求的
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
B
D
A
A
D
B
C
C
A
D
1.解析：本题主要考查集合的运算.,. 故选C.
2.解析：本题主要考查复数的计算及模长意义..故选B.
3.解析：本题主要考查等差数列的性质， 故选B.
4.解析：由分段函数的结构知,其定义域是所以
(1)当时, 就是
(2)当时, 就是,不成立.故选D.
5.解析:正三棱柱的侧面展开图如图所示的矩形，
矩形的长为，宽为，则其对角线AA1 的
长为最短路程. 因此蚂蚁爬行的最短路程为
. 故选A.
6.解析：取，则排除B.
取，则排除D.显然是的零点，,排除C.故选A.
或：根据函数定义域及函数极值点判定.
极值点是，时单减，且时，.故选A.
7.解析：本题主要考查几何概型与数学文化.
设大正方形边长为5,由知对边等于3，邻边等于4，
数学试题（文）答案（共8页）第1页
所以小正方形的边长为1，面积等于S=1,.故选D.
8.解析：本题主要考查程序框图，循环结构，根据结果找条件.
根据框图，，故选B.
9.解析：因为
所以函数在上的最大值是故选C.
10.解析：本题主要考查导数的几何意义及直线与圆的位置关系.
,所以圆心（2,0）到的距离是.
所以最小值是.故选C.
11. 解析：本题主要考查三视图问题，由三视图可以看出，该几何体是一个长方体以一个顶点挖去一个八分之一的球体.故选A.
12. 解析：本题主要考查三角函数的图象与性质.
因为函数的最大值是，所以，周期是
所以取
又因为所以取
于是函数的图象向左平移个单位后得到
.在四个选项中A、B、C选项错误.故选D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．
13. 14. 15. 16.
13.解析：本题主要考查平面向量的运算.
14.解析：本题主要考查双曲线的渐近线方程.根据双曲线方程可知其渐近线方程为
数学试题（文）答案（共8页）第2页
.而已知是一条渐近线方程，则有，
15.解析：本题主要考查简单的线性规划问题，
不等式表示区域如图中阴影部分所示，
目标函数为是与
直线平行的直线系，
当直线向上平移时，在增大，
且过点A时达到最大值，由得,从而.
16.解析：本题主要是考查解三角形及平面向量运算的几何意义.
由余弦定理得，,所以.
因此
由题意知，点的轨迹对应图形是边长为的菱形,
于是这个菱形的面积是
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)
解析：（Ⅰ）由题可知，解得，即. ……………3分
所以的通项公式。 ……………4分
前项和. ………6分
数学试题（文）答案（共8页）第3页
（Ⅱ）. ………9分
所以数列的前项和
. ………12分
18．(本小题满分12分)
解析：（Ⅰ）因为，所以平面.
而平面,所以平面平面. ………2分
因为线段的中点为，且
而,
. ，
………5分
（Ⅱ），.，即.又，所以，故，所以.
在三棱柱中，，直线所成角的余弦为，
则在中，，，所以.………7分
在中，，所以.因为，所以点是线段的靠近点的三等分点. ………9分
因为
所以== ………12分
19．(本小题满分12分)
解析：（Ⅰ）用水量在内的频数是50，频率是，
则. ……………2分
数学试题（文）答案（共8页）第4页
用水量在内的频率是，则.
用水量在内的频率是，则.
……………4分
（Ⅱ）估计全市家庭年均用水量为
……………7分
（Ⅲ）设A，B，C，D，E代表年用水量从多到少的5个家庭，从中任选3个，总的基本事件为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD, BCE, BDE, CDE共10个,其中包含A的有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE共6个. …………10分
所以. 即年用水量最多的家庭被选中的概率是
……………12分
20. (本小题满分12分)
解析：（Ⅰ）由题可知，，解得.
故椭圆E的标准方程为. ……………5分
（Ⅱ）解法1：设，直线交轴于点，直线交轴于点.则，即.易知同向，故.
……………7分
因为，，所以得直线的方程为，令，则；直线的方程为，令，则
所以，为定值. ……………12分
数学试题（文）答案（共8页）第5页
解法2：的左、右顶点分别为、，则有
由（Ⅰ）知，设直线、的斜率分别为，则.…………7分
直线的方程为，令得；直线的方程为
令得.所以. ……………12分
解法3：的左、右顶点分别为、，则……………7分
如题图所示，
. ……………12分
21. (本小题满分12分)
解析：（Ⅰ）由得， .
于是，所以.……… 2分
因为函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线互相垂直，所以，
即
……… 5分
（Ⅱ），.
设函数=（），
则=.
由题设可知≥0，即.令=0得，=，=－2.
（1）若－2＜≤0，则，此时，＜0，，
数学试题（文）答案（共8页）第6页
＞0，即在单调递减，在单调递增，所以在=取
最小值.
而
∴当≥－2时，≥，即恒成立. ……… 8分
②若则，此时
∴在(－2,+∞)单调递增，而=0，∴当≥－2时，≥0，
即恒成立. ……… 10分
③若则，此时=.
∴当≥－2时， 不能恒成立.
综上所述，的取值范围是 ………12分
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
解析：（Ⅰ）由得即.………2分
直线的普通方程为， 被圆截得的弦长为，所以圆心到的距离为，即解得. ………5分
（Ⅱ）法1：当时，将的参数方程代入圆C的直角坐标方程得，
，即，由于，故可设是上述方程的两实根，所以，故由上式及的几何意义得，==. ………10分
法2：当时点，易知点在直线上. 又，
数学试题（文）答案（共8页）第7页
所以点在圆外.联立消去得，.
不妨设，所以=.
23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
解析：（Ⅰ）就是.
（1）当时，，得.
(2)当时，，得，不成立. ………2分
（3）当时，，得.
综上可知，不等式的解集是.………5分
（Ⅱ）因为，
所以. ………7分
因为，时，，所以，得.
所以. ………10分
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