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德阳市高2015级高三年级联合测试
数 学 （理科）
命题学校：德阳中学
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．
1．已知集合，则
A． B． C． D．
2．若,则=
A．B．1 C．3 D．
3．在等差数列中，，，则
A．7B．10C．20D．30
4.已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
5.将函数的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来
的，再向右平移个单位长度后得到，则的解析式为
A. B.
C. D.
6.执行如图所示的程序框图，若输入，输出的1.75，则空白判断框内应填的条件为
A．＜1B．＜0.5C．＜0.2D．＜0.1
7.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为
A. 48 B. 72 C. 90 D. 96
8.下列命题中错误的命题是
A.对于命题使得，则都有
B.若随机变量，则
C.设函数，则函数有三个不同的零点
D.设等比数列的前项和为，则“”是“”的充分必要条件
9.在中，,是的内心，若，则
A. B. C. D.
10.已知函数的两个极值点分别在与内，则的取值范围是
A． B. C. D.
11.已知函数，记函数在区间上的最大值为，最小值为，设函数，若，则函数的值域为
A. B. C. D.
12.已知奇函数是定义在上的连续可导函数，其导函数是，当时，恒成立，则下列不等关系一定正确的是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知,则.
14. .
15.已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知=120°，且，则椭圆的离心率为.
16.已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且,则的最小值是
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(本小题满分12分)
已知等比数列{}满足，{}的前3项和.
（1） 求数列{}的通项公式；
（2） 记数列，求数列{}的前项和.
18. (本小题满分12分)
在中，角所对的边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，点在线段上，，,求的面积.
19. (本小题满分12分)
为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.
阶梯级别
第一阶梯
第二阶梯
第三阶梯
月用电范围（度）
（0,210]
（210,400]
某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：
居民用电户编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
用电量（度）
53
86
90
124
132
200
215
225
300
410
（1） 若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？
（2） 现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；
（3） 以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到户用电量为第一阶梯的可能性最大，求的值.
20．(本小题满分12分)已知函数
（1） 当时，求函数的单调区间；
（2） 求函数在上的最大值.
21．(本小题满分12分)已知函数.
(1)当时，求证：；
(2)设函数，且有两个不同的零点，
①求实数的取值范围； ②求证：.
请考生在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线的参数方程为（为参数），直线过点，且斜率为,射线的极坐标方程为．
（1）求曲线和直线的极坐标方程；
（2）已知射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长．
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
（1）函数，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围；
（2）设，若，求的最小值．
德阳市三校“一诊”联考试题数学（理）答案评分标准
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
C
A
C
B
D
C
B
A
D
C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 14： 15： 16：
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 等比数列{}中，由得，
即，
由得
所以数列{}的通项公式………………………………6分
（2）由题知，
又因为，所以数列{}是等差数列，
………………12分
18. （1）因为 ，由正弦定理得：
即,
在中，，所以………………5分
（2） ，两边平方得：
由，，得
解得：
所以的面积………………12分
19. （1）元 …………2分
（2） 设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有3户，则可取0,1,2,3
故的分布列是
0
1
2
3
所以………………7分
（3） 可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足，可知
,解得，
所以当时，概率最大，所以………………12分
20. （1）函数的定义域为，当时，……3分
由得，或（舍去）。
当时，，时，
所以函数的单调减区间是，增区间是………………5分
（2）因为，由由得，或
①当时，即时，在上，，即在上递增，所以
②当时，即时，在上，，在
上，即在上递减，在递增；
因为，
所以当时，；当时，
③当时，即时，在上，，即在上递减，所以
综上可得………………12分
21：（1）记，则，在上，
即在上递减，所以，即恒成立
记，则，在上，
即在上递增，所以，即恒成立
………………5分
（2） ①，定义域：，则
易知在递增，而，所以在上，
在递减，在递增，,
要使函数有两个零点，则
故实数的取值范围是………………7分
②由①知，记
当时，由①知：，则
再由得，
，
故恒成立，单调递减
，即，而，
，所以，由题知，，在递增，所以，即………………12分
22.因为曲线的参数方程为（为参数），所以消参后的
普通方程是：
将代入整理得：
即曲线的极坐标方程为
直线过点，且斜率为，直线的普通方程为
将代入整理得：………………5分
（2） 将代入曲线和直线的极坐标方程可得，，
所以线段的长为………………10分
23.解：令，则，即
作出的图像，如图所示，易知其最小值为-5 ………………5分
所以，实数的取值范围是
（2） 由柯西不等式：
即，故
当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值为. ………………10分
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