河北省武邑中学2018届高三上学期期中考试
数学(理)试题
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设,为虚数单位,且,则( )
A.-1 B.1 C.-2D.2
2.设集合,,则中整数元素的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.已知向量,,则是“与反向”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人各应偿还升,升,升,1斗为10升,则下列判断正确的是( )
A.,,依次成公比为2的等比数列,且
B.,,依次成公比为2的等比数列,且
C.,,依次成公比为的等比数列,且
D.,,依次成公比为的等比数列,且
5.若函数在(0,1)上递减,则取值范围是( )
A. B.C.D.
6.某几何的三视图如图所示,其中每个视图中的四个小正方形的边长都相等,若该几何体的
体积为,则该几何体的表面积为( )
A.36 B.42 C. 48D.64
7.定义在上的奇函数的一个零点所在区间为( )
A. B. C.D.
8.设变量,满足约束条件,则的取值范围为( )
A.[2,6] B.(-∞,10] C.[2,10] D.(-∞,6]
9.在四棱锥中,已知异面直线与所成的角为,给出下面三个命题,:若,则此四棱锥的侧面积为;:若,分别为,的中点,则//平面;:若,,,,都在球的表面上,则球的表面积是四边形面积的倍.在下列明天中,为真命题的是( )
A. B. C. D.
10.设,,定义运算:,则( )
A. B.
C. D.
11.设为数列的前项和,,且.记为数列的前项和,若,,则的最小值为( )
A. B. C. D.1
12.当时,恒成立,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.设向量,满足,则 .
14.函数的值域为 .
15.若函数的图象相邻的两个对称中心为,,将的图象纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,得到的图象,则 .
16.如图,在四棱锥中,底面,,底面为矩形,为线段的中点,,,,与底面所成角为,则四棱锥与三棱锥的公共部分的体积为 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 在中,角,,的对边分别为,,,已知,.
(1)求;
(2)求.
18. 设为数列的前项和,,数列满足,.
(1)求及;
(2)记表示的个位数字,如=4,求数列的前20项和.
19. 已知向量,,函数.
(1)若,,求;
(2)求在上的值域;
(3)将的图象向左平移个单位得到的图象,设,判断的图象是否关于直线对称,请说明理由.
20. 如图,在三棱锥中,,底面,,,,且.
(1)若为上一点,且,证明:平面平面.
(2)求二面角的余弦值.
21. 已知函数的图象与轴相切,且切点在轴的正半轴上.
(1) 求曲线与轴,直线及轴围成图形的面积;
(2) 若函数在上的极小值不大于,求的取值范围.
22. 已知函数,.
(1) 当时,比较与的大小;
(2) 设,若函数在上的最小值为,求的值.
试卷答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12:
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解:(1),,.
,,,从而.
(2),为锐角,,
,
.
18. 解:(1)当时,,
由于也满足,则.
,,,是首项为3,公差为2的等差数列,.
(2),的前5项依次为1,3,5,7,9.
,的前5项依次为3,5,7,9,1.
易知,数列与的周期均为5,
的前20项和为
.
18. 解:(1),,.
又,
或.
(2)
.
,,,
故在上的值域为.
(1) ,.
,
的图象关于直线对称.
19. (1)证明:由底面,得.
又,,故平面.
平面,平面平面.
(2)解:,
,则
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
,,.
设是平面的法向量,则,即
令,得
设是平面的法向量,则
,即,
令,得.
由图可知,二面角为钝角,故二面角的余弦值为.
18. 解:(1),得,
由题意可得,解得.
故,.
(2),
当时,无极值;
当,即时,令得;
令得或.
在处取得极小值,
当,即,在(-3,2)上无极小值,
故当时,在(-3,2)上有极小值
且极小值为,
即.
,,.
又,故.
18. 解:(1),
构造函数,,
当时,,在上单调递减.
,
故当时,,
即,即.
(2)由题得,则,
由得到,设,.
当时,;当时,.
从而在上递减,在上递增..
当时,,即(或,设,证明亦可得到).
在上,,,递减;
在上,,,递增.
,
,解得.