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2017-2018学年度上学期孝感市八校教学联盟期中联合考试
高一文科数学试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，，
∴，故选C.
2. 下列各组函数是同一函数的是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】B
【解析】对于选项B,两个函数的定义域都是R,根据对数的运算法则，，对应法则相同，故两个函数是同一个函数，选B.
点睛：本题涉及函数定义域的求法，函数解析式得化简及函数构成的两要素，属于中档题.处理此类问题的关键是求出两个函数的定义域，如果不同，则为不同函数，如果相同，再分析其解析式，经过等价变形后两个是否相同，不同则是不同函数，相同则是相同的函数.
3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据基本初等函数的性质知，符合条件的是，因为满足，且在上是增函数，故选D.
4. 函数零点所在的大致区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，即，所以零点在区间内，故选C.
5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，，所以，故选C.
6. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为二次函数开口向上，对称轴方程为，所以当，即时，函数在区间上单调递增，故选A.
7. 已知函数，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由解析式知，，故选A.
8. 小明周末从家骑车到图书馆，一路匀速行驶，离家不久后发现借阅证掉在家里，于是返回家里找到了借阅证后再去图书馆，与以上事件吻合的最好的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，一开始匀速行驶，因此图象是上升直线段，发现没带图书证后停下，返回是下降的直线段，取上图书证后一路匀速，又是上升的直线段，故选D.
9. 已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，且点在函数的图像上，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为图象关于直线对称且在函数的图像上，则点在函数（且）上，代入解得，故选A.
10. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数由复合而成，因为是减函数，所以只需求的减区间，由二次函数知识得，，故选C.
11. 已知函数是定义在上偶函数，且在内是减函数，若，则满足的实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为函数是定义在上偶函数，且在内是减函数，若，则，所以在y轴的左侧有时，，根据函数图像的对称性知当时，，即的解为，所以的解为，故选D.
点睛：本题考查了抽象函数的相关性质，涉及函数的值求法，奇偶性、单调性的证明，不等式的求解，属于难题.解决此类型问题，关键体会对定义域内任意自变量存在的性质，特别是特值的求解，即要善于发现，又要敢于试验，奇偶性在把握定义得前提下，通过赋值向定义靠拢，单调性就是要结合单调性证明格式，正用、逆用，变形使用性质，解不等式就是奇偶性及单调性的应用，注意定义域问题.
12. 已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】做出函数图象：
有两个零点，即的图象有两个交点，由图象可知当时，有两个交点，故选B.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 函数在区间上值域为__________．
【答案】
【解析】因为函数在上是减函数，所以，故值域为，填.
14. 函数的定义域是__________．
【答案】
【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足，定义域为
考点：函数定义域
15. 已知函数是幂函数，且当时，是增函数，则实数的值为__________．
【答案】3
【解析】函数是幂函数，所以，解得或，又当
时，是增函数，所以，故，填
16. 若对于函数的定义域中任意的，（），恒有和成立，则称函数为“单凸函数”，下列有四个函数：
（1）；（2）；（3）；（4）．
其中是“单凸函数”的序号为__________．
【答案】（2）（3）
【解析】根据“单凸函数”的定义，满足 的函数是增函数，所以（4）不是，对于（1）当，时，，不符合定义，对于（2）（3）符合定义，故填（2）（3）.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 化简计算下列各式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】试题分析：（1）根据指数幂的运算法则即可求出；
（2）根据对数的运算法则及特殊值的对数即可求解.
试题解析：
（1）原式 ．
...............
．
18. 已知,．
（1）当时，求和；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【解析】试题分析：（1）时，写出集合B，利用数轴即可求出；
（2）分时与时两种情况分类讨论即可求出结论.
试题解析：
（1）时，，
故，．
（2）当时，，则；
当时，，则，由，
得或解得或，
综上可知，的取值范围是．
点睛：求参数的取值范围的关键，是转化条件得到相应参数的方程或不等式，本题根据集合之间的关系是空集，从数轴上，数形结合、分类讨论，可以得到参数的取值范围，注意在处理集合关系及交并补运算的时候，特别考虑端点的取等成立与否的问题，否则非常容易出错.
19. 已知函数 （且），且是函数的零点．
（1）求实数的值；
（2）求使的实数的取值范围．
【答案】（1）3；（2）．
【解析】试题分析：（1）根据是函数的零点，代入即可得到，从而求解；
（2）可转化为 ，利用对数函数的增减性可求，同时注意函数定义域.
试题解析：
（1）∵1是函数的零点，∴，
即，即，解得．
（2）由得 ，
所以有解得，
所使的实数的取值集合为．
20. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请补全完整函数的图象；
（3）根据（2）中画出的函数图像，直接写出函数的单调区间．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）单调递增区间是，单调递减区间为和．
【解析】试题分析：（1）利用函数是奇函数，结合时，即可求出；（2）因为奇函数的图象关于原点成中心对称，故可画出另一侧图象.（3）观察图象，从左向右看，上升为增函数，下降为减函数，据此写出单调区间.
试题解析：
（1）设，则，
∵当时，，
∴，
∵函数是定义在上的奇函数，
∴（），
∴
（2）函数的图象如图所示：
（3）由图像可知，的单调递增区间是，单调递减区间为和．
点睛：本题全面考察了函数的奇偶性，单调性，图象，恒成立问题，属于中档题.涉及了利用奇偶性求函数的解析式，函数单调性的问题，二次函数分类讨论求函数的最小值，恒成立问题，恒成立问题一般要转化成最值问题，求函数最小值时，可根据函数的类型选用不同方法.
21. 共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益（单位：元）满足分段函数，其中是新样式单车的月产量（单位：件），利润总收益总成本．
（1）试将自行车厂的利润元表示为月产量的函数；
（2）当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）当月产量件时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元．
【解析】试题分析：（1）根据利润总收益总成本写出利润与月产量的函数关系；（2）根据分段函数，分别求每段的最大值，分别利用二次函数和一次函数知识，注意自变量是自然数，即可求出.
试题解析：
（1）依题设，总成本为，
则
（2）当时，，
则当时，；
当时，是减函数，
则，
所以，当月产量件时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元．
22. 已知函数．
（1）判断的奇偶性；
（2）用单调性的定义证明为上的增函数；
（3）求满足不等式的实数的取值范围．
【答案】（1）奇函数；（2）见解析；（3）．
【解析】试题分析：（1）根据函数奇偶性的定义判断即可；（2）利用单调性定义，作差后注意变形，分析差的正负即可；（3）由（1）（2）知函数是奇函数，在R上递增，转化为，根据单调性即可求解.
试题解析：
（1），∵，
∴是奇函数．
（2）任取，，且，则
，
∵，∴，
∵，
∴，即，∴在上是增函数．
（3）∵为奇函数，
∴不等式化为，
又在上为增函数，
∴，解得，
∴实数的取值范围为．
点睛：本题考查了函数的相关性质，涉及函数的值求法，奇偶性、单调性的证明，不等式的求解，属于难题.解决此类型问题，关键体会对定义域内任意自变量存在的性质，特别是特值的求解，即要善于发现，又要敢于试验，奇偶性在把握定义得前提下，通过赋值向定义靠拢，单调性就是要结合单调性证明格式，正用、逆用，变形使用性质，解不等式就是奇偶性及单调性的应用，注意定义域问题.
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