高三期中质量检测理科数学试题
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】= ,选C.
2. 下列命题中的假命题是( )
A. , B.
C. , D. ,
【答案】D
【解析】,; ;,;,,所以D为假命题,选D.
3. 下列函数中,既是奇函数又是区间上的减函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】不是奇函数;既是奇函数又是区间上的减函数; 是奇函数又是区间上的增函数;不是奇函数,所以选B.
4. 数列为等差数列,是其前项的和,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ,选A.
5. 已知向量,的夹角为,且,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为,所以
,选D.
6. 要得到函数的图象,只需将函数的图象( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
【答案】A
【解析】 ,所以向左平移 个单位,选A.
7. 的内角、、的对边分别为、、,若、、成等比数列,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由、、成等比数列,得 ,所以
,选B.
8. 函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由 得,舍去A; 当 时 ,舍去B; 当 时 ,舍去D;选C.
点睛:有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧:(1)由函数的定义域,判断图象左右的位置,由函数的值域,判断图象的上下位置;②由函数的单调性,判断图象的变化趋势;③由函数的奇偶性,判断图象的对称性;④由函数的周期性,判断图象的循环往复.(2)由实际情景探究函数图象.关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解,要注意实际问题中的定义域问题.
9. 我国古代数学名著《九章算术》中,有已知长方形面积求一边的算法,其方法前两步分为:
第一步:构造数列,,,,…,.①
第二步:将数列①的各项乘以,得数列(记为),,,…,.
则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 ,所以 ,选B.
点睛:裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式,然后通过累加抵消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列,c为常数)的数列. 裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和(如本例),还有一类隔一项的裂项求和,如或.
10. 函数零点的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】当时,
当时,与 有两个交点,因此一共有三个零点,选C.
11. 在平行四边形中,,边,,若、分别是边、上的点,且满足,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设
,选D.
点睛:平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法:一是夹角公式;二是坐标公式
;三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
12. 函数是定义在上的奇函数,且为偶函数,当时,,若函数有三个零点,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为为偶函数,为奇函数,所以 ,即周期为4
点睛:利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13. 的值为__________.
【答案】
【解析】
14. 计算:__________.
【答案】
【解析】
点睛: 三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;
(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;
(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式要通分”等
15. 已知曲线:与曲线:,若两条曲线在交点处有相同的切线,则实数的值为__________.
【答案】
【解析】设交点为 ,则切线斜率为
16. 若对任意的,均有成立,则称函数为函数和函数在区间上的“中间函数”.已知函数,,,且是和在区间上的“中间函数”,则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】 在区间上恒成立,所以
点睛:利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间;
(2)求在上的最小值.
【答案】(1)最小正周期为;单调递增区间为,.(2).
【解析】试题分析:(1)先利用二倍角公式降幂,再利用两角差余弦公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数,最后根据正弦函数性质求周期与单调区间(2)根据自变量范围确定正弦函数取值范围,再根据正弦函数图像确定最小值
试题解析:(1)
,
所以函数的最小正周期为.
由,,
得,,
所以函数的单调递增区间为,.
(2)因为,所以,
所以,所以,
所以在上的最小值为.
18. 在数列中,已知,,,为常数.
(1)证明:,,成等差数列;
(2)设,求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)根据递推关系求,,再验证成立即可(2)先构造等差数列,再根据等差数列通项公式得,由等比数列定义得数列
为等比数列,最后根据等比数列求和公式求数列的前项和.
试题解析:(1)因为,,
所以,
同理,,,
又因为,,
所以,
故,,成等差数列.
(2)由,得,
令,则,,
所以是以为首项,公差为的等差数列,
所以,
即,,两式相加,得:,
所以,
,
当,,
当,.
19. 已知的内角、、的对边分别为、、,.
(1)若,求的值;
(2)求的取值范围.
【答案】(1);(2).
试题解析:(1)由余弦定理及题设可知:,得,
由正弦定理,得.
(2)由题意可知.
.
因为,所以,故,
所以的取值范围是.
20. 已知函数(,).
(1)若的图象在点处的切线方程为,求在区间上的最大值和最小值;
(2)若在区间上不是单调函数,求的取值范围.
【答案】(1)最大值为8,最小值为;(2).
【解析】试题分析:(1)由导数几何意义得,求导函数解得;再根据,得.再根据导函数求得零点,列表可得导函数符号,确定函数单调性,最后得到最值(2)由题意得导函数在上存在零点,所以的两根满足或,解得的取值范围.
试题解析:(1)∵在上,∴,
∵点在的图象上,∴,
又,∴,
∴,解得,.
∴,,
由可知和是的极值点.
∵,,,,
∴在区间上的最大值为8,最小值为.
(2)因为函数在区间上不是单调函数,所以函数在上存在零点.
而的两根为,,
若,都在上,则解集为空集,这种情况不存在;
若有一个根在区间上,则或,
∴.
21. 在等差数列中,,其前项和为,等比数列的各项均为正数,,且,.
(1)求数列和的通项公式;
(2)令,设数列的前项和为,求()的最大值与最小值.
【答案】(1),;(2)的最大值是,最小值是.
【解析】试题分析:(1)由条件列关于公差与公比的方程组,解得,,再根据等差与等比数列通项公式求通项公式(2)化简可得,再根据等比数列求和公式得,结合函数单调性,可确定其最值
试题解析:(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,则
解得,,
所以,.
(2)由(1)得,故,
当为奇数时,,随的增大而减小,所以;
当为偶数时,,随的增大而增大,所以,
令,,则,故在时是增函数.
故当为奇数时,;
当为偶数时,,
综上所述,的最大值是,最小值是.
22. 已知函数.
(1)若函数在其定义域内为增函数,求实数的取值范围;
(3)设函数,若在上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(1)由题意得导函数在其定义域内恒非负,再根据二次方程恒成立条件得实数的取值范围;(2)将不等式有解问题,利用参变分离法转化为对应函数最值问题,再利用导数求对应函数最值,即得实数的取值范围.
试题解析:(1),,
因为函数在其定义域内为增函数,
所以,恒成立,
当时,显然不成立;
当时,,要满足,时恒成立,则,
∴.
(2)设函数,,
则原问题转化为在上至少存在一点,使得,即.
①时,,
∵,∴,,,则,不符合条件;
②时,,
由,可知,
则在单调递增,,整理得.
综上所述,.
点睛:对于求不等式成立时的参数范围问题,在可能的情况下把参数分离出来,使不等式一端是含有参数的不等式,另一端是一个区间上具体的函数,这样就把问题转化为一端是函数,另一端是参数的不等式,便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的,如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂,性质很难研究,就不要使用分离参数法.