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二元一次方程组
章末小结与提升
二
元
一
次
方
程
组
{二元一次方程{定义:①方程中含有两个未知数;②含有未知数的项的次数是1;③方程两边是整式
方程的解:使方程两边的值相等的未知数的值
二元一次方程组{定义:①方程组中含有两个未知数;②含有每个未知数的项的次数都是1;③由两个
方程组成
方程组的解:两个方程的 公共解
解法:①代入消元法;② 加减消元法
应用:关键是找出题中的相等关系,根据相等关系列出方程(组).
具体步骤:①审题;② 设未知数 ;③ 列方程组 ;④解方程组;⑤检验、作答.
三元一次方程组{定义:①方程组中含有三个未知数;②每个方程中含未知数的项的次数都是1;③由
三个方程组成
解法:①代入消元法;②加减消元法
类型 1 二元一次方程(组)的概念
典例 1 如果 xa-b-2ya+b-4=10 是二元一次方程,那么 a,b 的值分别是 ( )
A.3,1 B.3,2 C.2,1 D.2,-1
【解析】根据二元一次方程的定义,可得 x 和 y 的指数都为 1,列关于 a,b 的方程组,即
{a - b = 1,
a + b - 4 = 1,解得{a = 3,
b = 2.
【答案】 B
【针对训练】
1.方程(m2-9)x2+x-(m+3)y=0 是关于 x,y 的二元一次方程,则 m 的值为 (B)
A.±3 B.3 C.-3 D.9
2.已知方程(a-2)x|a|-1-(b+5)y|b|-4=3 是关于 x,y 的二元一次方程,求 a,b 的值.
a=-2,b=5
类型 2 二元一次方程组的解2
典例 2 如果方程组{x = 2,
ax + by = 7的解与方程组{y = 3,
bx + ay = 8的解相同,则 a,b 的值
是 ( )
A.{a = 2
b = 1 B.{a = -2
b = 1 C.{a = 2
b = -1 D.{a = -2
b = -1
【解析】依题意{x = 2,
y = 3 是方程组{ax + by = 7,
bx + ay = 8 的解,则{2a + 3b = 7,
2b + 3a = 8,解得{a = 2,
b = 1.
【答案】 A
【针对训练】
1.方程组{2x + y = □,
x + y = 3 的解为{x = 2,
y =△ ,则被遮盖的两个数△和□分别为 (C)
A.1,2 B.1,3 C.1,5 D.2,4
2.若{x = -1,
y = 2 是方程 2mx-ny=-2 的一个解,则 3m+3n-5 的值为 (C)
A.-8 B.-4 C.-2 D.2
3.已知关于 x,y 的方程组{3x - 5y = 2a,
x - 2y = a - 5.①当 a=5 时,方程组的解是{x = 10,
y = 20;②当 x,y 的
值互为相反数时,a=20;③不存在一个实数 a,使得 x=y;④若 25a-y=2-3,则 a=2.其中正确的是
②③④ .(填序号)
类型 3 解二元一次方程组
典例 3 解方程组:{3(x + y) + 2(x - y) = 10,
x + y
4 + x - y
2 = 7
2.
【解析】方程组整理得{5x + y = 10,①
3x - y = 14,②
①+②,得 8x=24,解得 x=3.
把 x=3 代入②,得 y=-5.
则方程组的解为{x = 3,
y = -5.
【针对训练】
1.对于数对(a,b),(c,d),定义:当且仅当 a=c 且 b=d 时,(a,b)=(c,d);并定义其运算如
下:(a,b)※(c,d)=(ac-bd,ad+bc),如(1,2)※(3,4)=(1×3-2×4,1×4+2×3)=(-5,10).若
(x,y)※(1,-1)=(1,3),则 xy 的值是 (C)
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.若 2006xm+10y7-n 和-2007yn-mx3n-m 是同类项,则 m2-2mn+n2= 9 .
3. 解方程组{|x + y| + |x| = 4,
2|x + y| + 3|x| = 9.
解:设|x+y|=a,|x|=b,3
则方程组可化为{a + b = 4, ①
2a + 3b = 9, ②解得 a=3,b=1,
即|x+y|=3,|x|=1,
由|x|=1,得 x=±1,
分为两种情况:
第一种情况:当 x=1 时,|1+y|=3,1+y=±3,
y1=2,y2=-4;
第二种情况:当 x=-1 时,|-1+y|=3,-1+y=±3,y3=4,y4=-2.
综上,原方程组的解是{x1 = 1,
y1 = 2,{x2 = 1,
y2 = -4,{x3 = -1,
y3 = 4,
{x4 = -1,
y4 = -2.
4.已知方程组{ax + by = 3,
5x - cy = 1,甲同学正确解得{x = 2,
y = 3,而乙同学粗心,把 c 给看错了,解得
{x = 3,
y = 6,求 abc 的值.
解:{ax + by = 3, ①
5x - cy = 1, ②
将{x = 2,
y = 3 代入方程组中的②,解得 c=3.
重组关于 a,b 的二元一次方程组{2a + 3b = 3,
3a + 6b = 3,
解得 a=3,b=-1.故 abc=-9.
类型 4 二元一次方程组的应用
典例 4 已知某座桥长 1000 米,现有一列火车从桥上通过,测得火车从开始上桥到
完全通过共用了 1 分钟,这列火车全在桥上的时间为 40 秒.则火车的速度和车长分别是
( )
A.20 米/秒,200 米 B.30 米/秒,300 米
C.15 米/秒,180 米 D.25 米/秒,240 米
【解析】设火车的速度为 v 米/秒,火车长为 L 米,1 分钟=60 秒.全通过:s1=L 桥+L,t1=60 秒,
全在桥上:s2=L 桥-L,t2=40 秒,则{60v = 1000 + L,
40v = 1000 - L,解得{v = 20,
L = 200,即火车的长度为 200 米,
速度为 20 米/秒.
【答案】 A
【针对训练】
1. 在端午节来临之际,某商店订购了 A 型和 B 型两种粽子,A 型粽子 28 元/千克,B 型粽子
24 元/千克,若 B 型粽子的重量比 A 型粽子的 2 倍少 20 千克,购进两种粽子共用了 2560 元,
求两种型号粽子各多少千克.4
解:设订购了 A 型粽子 x 千克,B 型粽子 y 千克,
根据题意,得{y = 2x - 20,
28x + 24y = 2560,解得{x = 40,
y = 60.
答:订购了 A 型粽子 40 千克,B 型粽子 60 千克.
2.某电脑公司有 A、B、C 三种型号的电脑,其中 A 型每台 5000 元、B 型每台 4000 元、C 型
每台 3000 元,某中学现有资金 100000 元,计划全部用于从这家电脑公司购进 30 台两种型号
的电脑,请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择,并说明理由.
解:设购买 A 型电脑 x 台,B 型电脑 y 台,C 型电脑 z 台,
①若购买 A 型、B 型,
由题意得{x + y = 30,
5000x + 4000y = 100000,
解得{x = -20,
y = 50, 不符合题意,舍去.
②若购买 A 型、C 型,
由题意得{x + z = 30,
5000x + 3000z = 100000,
解得{x = 5,
z = 25.
③若购买 B 型、C 型,
由题意得{y + z = 30,
4000y + 3000z = 100000,
解得{y = 10,
z = 20.
故共有两种购买方案:购买 A 型电脑 5 台,C 型电脑 25 台;或购买 B 型电脑 10 台,C 型电脑
20 台.
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