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2018届高三第一次联考
数学试题（文）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数的实部与虚部和为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则值为（ ）
A． B． C． D．
第4题图
4． 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年纪念日，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示的是一枚8克圆形金质纪念币，直径22毫米， 面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的个数是（ ）
①“若，则中至少有一个不小于”的逆命题是真命题
② 命题“设，若，则或”是一个真命题
③“”的否定是“”
④ 是的一个必要不充分条件
A． B． C． D．
6．如图，已知椭圆的中心为原点,为的左焦点，为上一点，满足且，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知正项等比数列的前项和为，且,与的等差中项为，则（ ）
A． B． C． D．
第8题图
4
2
俯视图
正视图
侧视图
8．已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
9． 秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入,的值分别为,则输出的值为（ ）
A． B．
C． D．
输入n,x
开始
v=1
i≥0？
输出v
结束
v=vx+i
i=i-1
i=n-1
否
是
第9题图
10．已知为圆周率，为自然对数的底数，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数与有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函数（ ）
A． B． C． D．
12．已知数列满足（），将数列中的整数项按原来的顺序组成新数列，则的末位数字为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知平面向量,的夹角为，且,，若，则_____．
14．已知满足约束条件，且的最小值为，则常数_______．
15．已知函数，若，，则函数的值域为_________．
16．我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为．直线与在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形，则它绕轴旋转一圈所得几何体的体积为_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
在中，角,,的对边分别为,,．
（1）若，且为锐角三角形，,，求的值；
（2）若,，求的取值范围．
第18题图
A
D
B
C
E
18．（12分）
如图，直三棱柱中，,，,
分别为和上的点，且．
（1）当为中点时，求证：；
（2）当在上运动时，求三棱锥体积的最小值．
19．（12分）
为研究患肺癌与是否吸烟有关，做了一次相关调查，其中部分数据丢失，
但可以确定的是不吸烟人数与吸烟人数相同，吸烟患肺癌人数占吸烟总
人数的；不吸烟的人数中，患肺癌与不患肺癌的比为．
（1）若吸烟不患肺癌的有人，现从患肺癌的人中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行调查，求这两人都是吸烟患肺癌的概率；
（2）若研究得到在犯错误概率不超过的前提下，认为患肺癌与吸烟有关，则吸烟的人数至少有多少？
附：，其中．
20．（12分）
已知抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为．
（1）若，过点,的直线与抛物线相交于另一点，求的值；
（2）若直线与抛物线相交于两点，与圆相交于两点，为坐标原点，，试问：是否存在实数，使得的长为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知函数（）．
（1）若函数是单调函数，求的取值范围；
（2）求证：当时，都有．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程选讲]（10分）
已知曲线C的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）A,B为曲线C上两点，若OA⊥OB，求的值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1） 若,，解不等式；（2）若的最小值为，求的最小值．
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2018届高三第一次联考
文科数学参考答案
1．答案：C
解析：∵，又，∴集合的个数为个，故选C．
2．答案：D
解析：∵，∴
解得，故选D．
3．答案：D
解析：∵，∴，，，
故选D．
4．答案：B
解析：设军旗的面积为，则有，解得，故选B．
5．答案：C
解析：对于①，原命题的逆命题为：若中至少有一个不小于，则，而满足中至少有一个不小于，但此时，故①是假命题；对于②，此命题的逆否命题为“设，若且，则”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，故②是真命题；对于③“”的否定是“”，故③是假命题；对于④，由可推得，故④是真命题，故选C．
6．答案：C
解析：由题意可得，设右焦点为，由知，，，∴，∴，即．在△中，由勾股定理，得，
由椭圆定义，得，从而，得，
于是，所以椭圆的方程为，故选C．
7．答案：D
解析：∵，∴，故，又，∴，
∴，，，故选D．
8．答案：A
解析：由三视图知：该几何体是正四棱柱与半球体的组合体，且正四棱柱的高为，底面对角线长为，球的半径为，所以几何体的表面积为：，故选A．
9．答案：B
解析：∵输入的，，故，，满足进行循环的条件；
，，满足进行循环的条件；，，满足进行循环的条件；
，，不满足进行循环的条件，故输出的值为，故选B
10．答案：B
解析：函数是上的增函数，A错；
，B对；
，而函数是上的减函数，C错；
，而函数是上的增函数，D错，
故选B．
11．答案：A
解析：定义域为，
①当时，，，
令，解得，
由，得，由，得，
∴当时，．
又是偶函数，∴图象关于轴对称，，
∵只有个公共点，∴最大值为1．
则最长周期为，即，即，
则，∴，
解得，故周期最大的，故选A．
12．答案：B
解析：由（），可得此数列为：
，
的整数项为,∴数列的各项依次为：
，末位数字分别是，
∵，故的末位数字为2，故选B．
13．答案：
解析：∵，
∴，解得．
14．答案：
解析：联立方程解得两直线的交点为，
由得直线方程，结合图象可知当直线过点时，最小，，
解得．
15．答案：
解析：由题意可得，解得，
∴当时，，
当时，，则函数的值域为．
16．答案：
解析：由题意可得双曲线的方程为，在第一象限内与渐近线的交点的坐标为，与双曲线第一象限的交点的坐标为，记与轴交于点，因为，根据祖暅原理，可得旋转体的体积为．
17．解：（1）∵，∴，又∵为锐角，，而，即，解得（舍负），∴．...............................5分
（2）方法一：（正弦定理）
由正弦定理可得，
∵，∴，∴，∴．..............................10分
方法二：（余弦定理）
由余弦定理可得，即，
∴，又由两边之和大于第三边可得，∴．...........................10分
18．解：（1）证明：∵为的中点，故为的中点，三棱柱为直三棱柱，
∴平行四边形为正方形，∴，
∵，为的中点，∴，
∵三棱柱为直三棱柱，
∴平面，又平面，∴，
又，∴平面，
∵平面，∴． ...............................6分
（2）设，则
由已知可得到平面的距离即为的边所对的高，
∴
∴当，即为的中点时，有最小值18． ...............................12分
19． 解：（1）设吸烟人数为，依题意有，所以吸烟的人有人，故有吸烟患肺癌的有人，不患肺癌的有人．用分层抽样的方法抽取人，则应抽取吸烟患肺癌的人，记为，，，．不吸烟患肺癌的人，记为．从人中随机抽取人，所有可能的结果有，，，，，，，，，，共种，则这两人都是吸烟患肺癌的情形共有种，∴，即这两人都是吸烟患肺癌的概率为． ...............................6分
（2）方法一：设吸烟人数为，由题意可得列联表如下：
患肺癌
不患肺癌
合计
吸烟
不吸烟
总计
由表得，，由题意，∴，
∵为整数，∴的最小值为．则，即吸烟人数至少为人．
方法二：设吸烟人数为，由题意可得列联表如下：
患肺癌
不患肺癌
合计
吸烟
不吸烟
总计
由表得，，由题意，∴，∵为整数且为的倍数，∴的最小值为即吸烟人数至少为人． ...............................12分
19． 解析：（1）∵点，∴，解得，
故抛物线的方程为：，当时，，
∴的方程为，联立可得，，
又∵，，∴． ...............................5分
（2）设直线的方程为，代入抛物线方程可得，
设 ，则，，①
由得：，
整理得，②
将①代入②解得，∴直线，
∵圆心到直线的距离，∴，
显然当时，，的长为定值． ...............................12分
21．解：（1）函数的定义域为，∵，∴，
∵函数是单调函数，∴或在上恒成立，
①∵，∴，即，，
令，则，当时，；当时，．
则在上递减，上递增，∴，∴；
②∵，∴，即，，
由①得在上递减，上递增，又，时，∴；
综上①②可知，或； ...............................6分
（2）由（1）可知，当时，在上递减，∵，
∴，即，∴，
要证，只需证，即证，
令，，则证，令，则，
∴在上递减，又，∴，即，得证． ...............................12分
22．解：（1）由得，
将，代入得到曲线C的普通方程是． ...............................5分
（2）因为，所以，
由OA⊥OB，设，则B点的坐标可设为，
所以． ...............................10分
23．解：（1），左式可看作数轴上，点到－2和1两点的距离之和，
当或2时，距离之和恰为5，故；解集为
． ...............................5分
（2），∴，
由柯西不等式得，∴，
当且仅当时等号成立，∴的最小值为3． ...............................10分
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