烟台市2019年高考诊断性测试
理科数学 2019.3
注意事项：
1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．
2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上．
3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．已知复数z满足(i为虚数单位)，则
A． B． C．1+i D．1－i
2．若集合
A． B． C． D．
3．已知甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取
一个球，则取出的两球中至少有1个红球的概率为
A． B． C． D．
4．“”是“”的
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(－3，1)，则
A． B． C． D．
6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是
A．8 B．16 C．32 D．64
7．在
，则
A． B． C． D．
8．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为
A． B． C． D．
9．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，且，则当取最小值时，函数的解析式为
A． B．
C． D．
10．设A，B，C，D是同一个球面上四点，是斜边长为6的等腰直角三角形，若三棱锥D—ABC体积的最大值为27，则该球的表面积为
A． B． C． D．
11．若函数，则满足的取值范围为
A． B． C． D．
12．已知分别为双曲线的左、右焦点，M为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线的另一个交点为N，则的面积为
A．12 B． C．24 D．
二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知的展开式中的系数为40，则实数a的值为
14．己知满足约束条件的最小值是
15．在分别为内角A，B，C的对边，若，则
周长的最大值为
16．已知，若方程有2个不同的实根，则实数m的取值范围是(结果用区间表示)
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：60分．
17．(12分)
已知数列中，．
(1)记是否为等差数列，并说明理由：
(2)在(1)的条件下，设，求数列的前项和．
18．(12分)
如图，在平面四边形ABCD中，△ABC等边三角形，，以AC为折痕将△ABC折起，使得平面平面ACD．
(1)设E为BC的中点，求证：平面BCD：
(2)若BD与平面ABC所成角的正切值为，求二面角的余弦值．
19．(12分)
已知F为抛物线的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．
当直线与x轴垂直时，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线AB与抛物线的准线l相交于点M，在抛物线C上是否存在点P，使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
20．(12分)
2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，
培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．
(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；
(2)由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
(i)一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若
．
利用直方图得到的正态分布，求。
(ii)从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求(结果精确到0.0001)以及Z的数学期望．
参考数据：．
21．(12分)
已知函数为自然对数的底数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求a的取值范围．
(二)选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题
计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
(2)设点，直线与曲线C相交于两点A，B，求的值.
23．[选修4—5：不等式选讲](10分)
已知函数。
(1)当m=1时，求不等式的解集；
(2)若实数m使得不等式恒成立，求m的取值范围．
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题
A B D A D C C B C C B C
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17. 解：（1）. ……………………………………1分
当时，
. ……………………………………3分
所以数列是以为首项、公差为的等差数列. ………………………4分
（2）由（1）得，，于是. ………………………5分
……………6分
两式相减得 ………………………9分
………………………11分
所以. ………………………12分
18. 解：（1）证明：因为平面平面，
平面平面，平面，，
所以平面. ………………………1分
又平面，所以. ………………………2分
在等边中，因为为的中点，所以. …………………3分
因为，，，
所以平面. …………………4分
（2）由（1）知平面，所以即为与平面所成角，
于是在直角中，. …………………5分
以为坐标原点，分别以所在的方向作为轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
设等边的边长为，则，，，，，，，，. ……………………7分
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，，于是. ……………………9分
设平面的一个法向量为，
则，即，
解得，令，则，于是. ……………………11分
所以.
由题意知二面角为锐角，所以其余弦值为. ……………………12分
19. 解：（1）因为，在抛物线方程中，令，可得,…2分
所以当直线与轴垂直时，解得, ……………………3分
抛物线的方程为. ……………………4分
（2） 不妨设直线的方程为，
因为抛物线的准线方程为，所以.……………………5分
联立消去，得, ……………………6分
设，，则，, ……………………7分
若存在定点满足条件，则，
即， ……………………8分
因为点均在抛物线上，所以.
代入化简可得， ……………………9分
将，代入整理可得
，即, ……………………10分
因为上式对恒成立，所以，解得,……………………11分
将代入抛物线方程，可得，
于是点即为满足题意的定点. ……………………12分
20. 解：（1） ……2分
…………4分
（2） (i)由题知，，∴.
. ……………………5分
. ……………………7分
（ⅱ）由(i)知， ……………………8分
可得,
……………………10分
的数学期望. ……………………12分
21. 解：（1）由题意可知，
， ………………1分
当时，，此时在上单调递增； ………………2分
当时，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增； ………………3分
当时，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增； ………………4分
综上，当时，在上单调递增；当时，时，单调递减，时单调递增；当时，时，单调递减，时单调递增. ………………5分
（2）由可得，
，令
只需在使即可，
， ………………6分
① 当时，，当时，，当时，，
所以在上是减函数，在上是增函数，
只需，
解得，所以； ………………8分
② 当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，则，解得， ………………9分
③ 当时，，在上是增函数，
而成立， ………………10分
① 当时，在在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，则，解得.………11分
综上，的取值范围为. ………12分
22. 解：（1）因为，所以， ………………1分
将，，代入上式，可得. …………3分
直线的普通方程为； ………………5分
（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，可得， ……6分
设两点所对应的参数分别为，则，.………………7分
于是 ………………8分
. ………………10分
23. 解：（1），
当时，原不等式转化为，解得；………………1分
当时，原不等式转化为， 解得；…2分
当时，原不等式转化为，解得； ………………3分
综上，不等式的解集为. ………………4分
（2）由已知得：，即.
，由题意. ………………5分
当时，为减函数，
此时最小值为； ………………7分
当时，为增函数，
此时最小值为. ………………9分
又，所以
所以的取值范围为. ………………10分
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