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第十八章 章末测试卷
(时间:45分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2018滨州)下列命题,其中是真命题的为( D )
(A)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
(B)对角线互相垂直的四边形是菱形
(C)对角线相等的四边形是矩形
(D)一组邻边相等的矩形是正方形
解析:一组对边平行,另一组对边相等的四边形也可能是梯形,故A是假命题;对角线互相垂直的四边形未必一定是菱形,故B是假命题;对角线相等的四边形也可能是等腰梯形,故C是假命题;一组邻边相等的矩形是正方形是正确的,故D是真命题.故选D.
2.(2018宜宾)在▱ABCD中,若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E,则△AED的形状是( B )
(A)锐角三角形 (B)直角三角形
(C)钝角三角形 (D)不能确定
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解析:如图,因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AB∥CD,
所以∠BAD+∠ADC=180°,
因为∠EAD=∠BAD,∠ADE=∠ADC,
所以∠EAD+∠ADE=(∠BAD+∠ADC)=90°,
所以∠E=90°,
所以△ADE是直角三角形,
故选B.
3.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于O点,E,F分别是AB,BC边的中点,连接EF.若EF=,BD=4,则菱形ABCD的周长为( C )
(A)4 (B)4 (C)4 (D)28
解析:因为E,F分别是AB,BC边的中点,
EF= ,所以AC=2EF=2,
因为四边形ABCD是菱形,
所以AC⊥BD,OA= AC= ,OB= BD=2,
所以AB==,
所以菱形ABCD的周长为4.
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故选C.
4.如图,在▱ABCD中,连接AC,∠ABC=∠CAD=30°,AB=2,则BC的长是( C )
(A) (B)2
(C)2 (D)4
解析:因为▱ABCD,所以AD∥BC,
所以∠DAC=∠ACB=30°=∠ABC,
所以AB=AC,
作AE⊥BC于E,则AE=AB=×2=1,
BC=2BE=2=2=2.
故选C.
5.(2018宜昌)如图,正方形ABCD的边长为1,点E,F分别是对角线AC上的两点,EG⊥AB.EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为G,I,H,J.则图中阴影部分的面积等于( B )
(A)1 (B) (C) (D)
解析:因为四边形ABCD是正方形,
所以直线AC是正方形ABCD的对称轴,
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因为EG⊥AB,EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为G,I,H,J.
所以根据对称性可知四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等,
所以S阴=S正方形ABCD=,故选B.
6.如图,在菱形ABCD中,AC=16,BD=12,则△ABC的周长为( C )
(A)28 (B)32
(C)36 (D)40
解析:在菱形ABCD中,AO⊥OB,AO=AC=8,BO=BD=6,
根据勾股定理可得AB=10,BC=10,
所以△ABC的周长为10+10+16=36.
故选C.
7.(2018沂水县二模)如图所示,两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动,下列说法错误的是( B )
(A)四边形ACDF是平行四边形
(B)当点E为BC中点时,四边形ACDF是矩形
(C)当点B与点E重合时,四边形ACDF是菱形
(D)四边形ACDF不可能是正方形
解析:A.正确.因为∠ACB=∠EFD=30°,
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所以AC∥DF,因为AC=DF,
所以四边形ACDF是平行四边形.故正确.
B.错误.当E是BC中点时,无法证明∠ACD=90°,故错误.
C.正确.B,E重合时,易证FA=FD,
因为四边形ACDF是平行四边形,
所以四边形ACDF是菱形,
D.正确.当四边相等时,∠AFD=60°,∠FAC=120°,
所以四边形ACDF不可能是正方形.故选B.
8.如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6,将△ABC沿AC折叠,使点B落在点E处,CE交AD于点F,则DF的长等于( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:由折叠知,AE=AB,EC=BC=6,
∠E=∠B=90°,
由矩形ABCD知,AB=CD=4,∠D=90°,
所以CD=AE,∠E=∠D,
因为∠AFE=∠CFD,
所以△AEF≌△CDF,
所以EF=FD.
设DF=x,则CF=AF=6-x,
在Rt△CDF中,x2+42=(6-x)2,
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解得x=.
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2018株洲)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC=10,P,Q分别为AO,AD的中点,则PQ的长度为 .
解析:因为四边形ABCD是矩形,
所以BD=AC=10,OD=BD,
所以OD=5,
因为P,Q分别为AO,AD的中点,
所以PQ=OD=.
10.如图,在▱ABCD中,按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AD于点M,N;②分别以点M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;③作射线AP,交边CD于点Q.若DQ=2QC,
BC=3,则▱ABCD的周长为 15 .
解析:由题意知,AQ是∠BAD的平分线,
所以∠DAQ=∠BAQ,
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又因为四边形ABCD是平行四边形,
所以DC∥AB,AD=BC=3,
所以∠BAQ=∠DQA,
所以∠DAQ=∠DQA,
所以DQ=AD=3,
又因为DQ=2QC,
所以QC=1.5,所以DC=4.5,
所以▱ABCD的周长为2(BC+CD)=2(3+4.5)=2×7.5=15.
11.(2018咸宁)如图,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E的坐标为(2,3),则点F的坐标为 (-1,5) .
解析:如图,过点E作x轴的垂线EH,垂足为H.
过点G作x轴的垂线GM,垂足为M,
连接GE,FO交于点O′.
因为四边形OEFG是正方形,
所以OG=EO,
∠GOM=∠OEH,∠OGM=∠EOH,
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在△OGM与△EOH中,
所以△OGM≌△EOH(ASA),
所以GM=OH=2,OM=EH=3,
所以G(-3,2).
所以O′(-,).
因为点F与点O关于点O′对称,
所以点F的坐标为(-1,5).
12.如图,菱形ABCD的面积为120 cm2,正方形AECF的面积为50 cm2,则菱形的边长为 13 cm.
解析:因为正方形AECF的面积为50 cm2,
所以AC==10(cm),
因为菱形ABCD的面积为120 cm2,
所以BD==24(cm),
所以菱形的边长为=13(cm).
13.(2018临沂)如图,在▱ABCD中,AB=10,AD=6,AC⊥BC.则BD=
4 .
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解析:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以BC=AD=6,OB=OD,OA=OC,
因为AC⊥BC,
所以AC==8,
所以OC=4,
所以OB==2,
所以BD=2OB=4.
14.如图,正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1,点F,G分别在边BC,CD上,P为AE的中点,连接PG,则PG的长为 .
解析:如图,延长GE交AB于点N,过点P作PM⊥GN于点M.
由正方形的性质可知
AN=AB-BN=AB-EF=2,
NE=GN-GE=BC-FC=2.
根据点P是AE的中点及PM∥AN,可得PM为△ANE的中位线,
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所以ME=NE=1,PM=AN=1,
因此MG=2.
根据勾股定理可得PG==.
三、解答题(共52分)
15.(6分)(2018宿迁)如图,在▱ABCD中,点E,F分别在边CB,AD的延长线上,且BE=DF,EF分别与AB,CD交于点G,H.求证:AG=CH.
证明:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AD=BC,∠A=∠C,AD∥BC,
所以∠E=∠F.
因为BE=DF,
所以AF=EC.
在△AGF和△CHE中
所以△AGF≌△CHE(ASA),
所以AG=CH.
16.(8分)(2018盐城)在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,如图所示.
(1)求证:△ABE≌△ADF;
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(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.
(1)证明:因为四边形ABCD是正方形,
所以AB=BC=CD=AD,
∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB=45°.
所以∠ABE=∠ADF=∠CBE=∠CDF.
在△ABE和△ADF中,
所以△ABE≌△ADF.
(2)解:四边形AECF为菱形,理由如下:
在△ABE和△CBE中,
所以△ABE≌△CBE.
同理△ADF≌△CDF,
所以△ABE≌△ADF≌△CBE≌△CDF,
所以AE=AF=CE=CF,
所以四边形AECF为菱形.
17.(8分)(2018凉州区)已知矩形ABCD中,E是AD边上的一个动点,点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.
(1)求证:△BGF≌△FHC;
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(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.
(1)证明:因为点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点,
所以FH∥BE,FH=BE,FH=BG,BF=FC,
所以∠CFH=∠FBG,
在△BGF和△FHC中,
所以△BGF≌△FHC.
(2)解:连接GH,EF.
当四边形EGFH是正方形时,可得EF⊥GH且EF=GH,
因为在△BEC中,点G,H分别是BE,CE的中点,
所以GH=BC=AD=a,且GH∥BC,
所以EF⊥BC,
因为AD∥BC,AB⊥BC,
所以AB=EF=GH=a,
所以矩形ABCD的面积为
AB·AD=a·a=a2.
18.(10分)已知:如图,在菱形ABCD中,点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,连接CE,CF,OE,OF.
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(1)求证:△BCE≌△DCF;
(2)当AB与BC满足什么关系时,四边形AEOF是正方形?请说明理由.
(1)证明:因为四边形ABCD是菱形,
所以∠B=∠D,AB=BC=DC=AD,
因为点E,F分别为AB,AD的中点,
所以BE=AB,DF=AD,
所以BE=DF,
在△BCE和△DCF中,
所以△BCE≌△DCF(SAS).
(2)解:当AB⊥BC时,四边形AEOF是正方形,
理由如下:
因为四边形ABCD是菱形,
所以AB=BC=CD=AD,
又因为E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,
所以OE=BC,OF=CD,
AE=AB,AF=AD,
所以AE=OE=OF=AF,
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所以四边形AEOF是菱形,
因为AB⊥BC,
所以OE⊥AB,
所以∠AEO=90°,
所以四边形AEOF是正方形.
19.(10分)如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,过对角线BD中点O的直线分别交AB,CD边于点E,F.
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;
(2)当四边形BEDF是菱形时,求EF的长.
(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,
所以AB∥CD,
所以∠OBE=∠ODF,
又因为O是BD的中点,
所以OB=OD,
在△BOE和△DOF中,
所以△BOE≌△DOF(ASA),
所以EO=FO,
所以四边形BEDF是平行四边形.
(2)解:当四边形BEDF是菱形时,BD⊥EF,DE=BE,
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设BE=x,则DE=x,AE=6-x,
在Rt△ADE中,DE2=AD2+AE2,
所以x2=42+(6-x)2,
解得x=,
所以BE=,
因为BD==2,
所以OB=BD=,
因为BD⊥EF,
所以EO==,
所以EF=2EO=.
20.(10分)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.连接CF.
(1)求证:△AFE≌△DBE;
(2)证明四边形ADCF是菱形;
(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积.
(1)证明:因为AF∥BC,所以∠AFE=∠DBE,
因为E是AD的中点,
所以AE=DE,
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在△AFE和△DBE中,
所以△AFE≌△DBE(AAS).
(2)证明:由(1)知,△AFE≌△DBE,则AF=DB.
由D是BC的中点知DB=DC,
所以AF=CD.
因为AF∥BC,
所以四边形ADCF是平行四边形,
因为∠BAC=90°,D是BC的中点,
所以AD=BC=DC,
所以四边形ADCF是菱形.
(3)解:设菱形DC边上的高为h,
所以Rt△ABC斜边BC边上的高也为h,
因为BC==,
所以DC=BC=,
所以h==,
菱形ADCF的面积为DC·h=×=10.
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