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湖南省湘东五校2017年下期高三联考
文科数学试题
总分:150分 时量:120分钟 考试时间:2017年12月8日
由 醴陵市一中 浏阳市一中 攸县一中 株洲市八中 株洲市二中 联合命题
姓名_______________ 考号_______________
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每个给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知全集U=R,A=,则集合=
A. B.
C. D.
2.若复数为纯虚数，则实数的值为
A. B. C. D.
3．下列说法中正确的是
A．“”是“”成立的充分条件
B．命题，,则，
C．命题“若，则”的逆命题是真命题
D．“”是“”成立的充分不必要条件
4.已知,若,则的最小值为
A.4 B.9 C.8 D.10
5．已知直线，平面且给出下列命题：
①若∥，则； ②若，则∥；
③若，则； ④若∥，则. 其中正确的命题是
A．①④ B．③④ C．①② D．①③
6．已知在等比数列中，，前三项之和，则公比的值是
A．1 B. C.1或 D. 或
7.将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是
A． B． C． D．
8.程序框图如下图所示，当时，输出的的值为
A．23 B．24 C．25 D．26
9.已知正三棱锥P—ABC的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥外接球的表面积为
A． B．
C． D．
10．已知圆心为，半径为1的圆上有不同的三个点，其中，存在实数满足，则实数的关系为
A． B． C． D．
11．已知函数，，设为实数，若存在实数，使，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
12．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知满足不等式组,则的最大值为_____________
14. 已知等差数列的公差为d，若的方差为8, 则d的值为 __．
15. 圆心在抛物线上，并且和该抛物线的准线及轴都相切的圆的标准方程为 __________________．
16．已知函数,若对任意的,恒有
成立,则实数的取值范围是 __________________
三.解答题:本大题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知函数.
(Ⅰ)求的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合；
(Ⅱ)设△ABC的内角所对的边分别为a，b，c，且，，
若，求a，b的值．
18.(本小题满分12分)
某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:
日期
1月10日
2月10日
3月10日
4月10日
5月10日
6月10日
昼夜温差x(°C)
10
11
13
12
8
6
就诊人数y(个)
22
25
29
26
16
12
该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4
组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.
(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
(Ⅱ)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y关于x的线性回归方程；
(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?
(参考公式: )
参考数据：1092， 498
19．（本小题满分12分）
如图，在多面体中，四边形是正方形，是等边三角形，．
（I）求证：；
（II）求多面体的体积.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过P点作两条直线分别交椭圆C于两点，若直线PQ平分，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值．
21. （本小题满分12分）
已知函数．
（I）当时，求的单调区间和极值；
（II）若对于任意，都有成立，求k的取值范围；
(Ⅲ)若，且，证明：．
请考生在第(22)题、(23)两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中曲线的极坐标方程为，点. 以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点.
（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；
（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积.
23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数,其中
（Ⅰ）当时,求不等式的解集.
（Ⅱ）已知关于的不等式的解集为,求的值
湖南省湘东五校2017年下期高三联考
文科数学试题答案
总分:150分 时量:120分钟 考试时间:2017年12月8日
由 醴陵市一中 浏阳市一中 攸县一中 株洲市八中 株洲市二中 联合命题
姓名_______________ 考号_______________
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每个给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知全集U=R,A=,则集合= D
A. B.
C. D.
2.若复数为纯虚数，则实数的值为C
A. B. C. D.
3．下列说法中正确的是A
A．“”是“”成立的充分条件
B．命题，,则，
C．命题“若，则”的逆命题是真命题
D．“”是“”成立的充分不必要条件
4.已知,若,则的最小值为B
A.4 B.9 C.8 D.10
5．已知直线，平面且给出下列命题：
①若∥，则； ②若，则∥；
③若，则； ④若∥，则. 其中正确的命题是A
A．①④ B．③④ C．①② D．①③
6．已知在等比数列中，，前三项之和，则公比的值是C
A．1 B. C.1或 D. 或
7.将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是D
A． B． C． D．
8.程序框图如下图所示，当时，输出的的值为B
A．23 B．24 C．25 D．26
9.已知正三棱锥P—ABC的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥外接球的表面积为 B
A． B．
C． D．
10．已知圆心为，半径为1的圆上有不同的三个点，其中，存在实数满足，则实数的关系为A
A． B． C． D．
11．已知函数，，设为实数，若存在实数，使，则实数的取值范围为C
A． B． C． D．
12．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为C
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知满足不等式组,则的最大值为_______6______
14. 已知等差数列的公差为d，若的方差为8, 则d的值为
15. 圆心在抛物线上，并且和该抛物线的准线及轴都相切的圆的标准方程为
16．已知函数,若对任意的,恒有
成立,则实数的取值范围是
三.解答题:本大题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知函数.
(Ⅰ)求的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合；
(Ⅱ)设△ABC的内角所对的边分别为a，b，c，且，，
若，求a，b的值．
17. 解：（1） …………2分
． …………………………………………4分
当，即时，的最小值为．
此时自变量x的取值集合为{x|}． ……………………6分
（或写成{x|}）．
（2）因为，所以，又，
所以，即． ……………………………8分
在△ABC中， ，由正弦定理知，又， ……9分
由余弦定理知，即，
联立
解得． ……………………………………………12分
18.(本小题满分12分)
某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:
日期
1月10日
2月10日
3月10日
4月10日
5月10日
6月10日
昼夜温差x(°C)
10
11
13
12
8
6
就诊人数y(个)
22
25
29
26
16
12
该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.
(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
(Ⅱ)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y关于x的线性回归方程；
(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?
(参考公式: )
参考数据：1092， 498
18解：(Ⅰ)设抽到相邻两个月的数据为事件A.因为从6组数据中选
取2组数据共有15种情况,每种情况都是等可能出现的，其中,抽到相邻两个月的数据的情况
有5种 ，所以 …………………………………………….4分
(Ⅱ)由数据求得 由公式求得
再由 所以关于的线性回归方程为
………………………………………………..8分
(Ⅲ)当时,, ；
同样, 当时,,
所以,该小组所得线性回归方程是理想的.
……………………………………………….12分
19．（本小题满分12分）
如图，在多面体中，四边形是正方形，是等边三角形，．
（I）求证：；
（II）求多面体的体积.
19.
证明及解：
（Ⅰ）取中点，连，
∥
∥，∥
四边形是平行四边形
∥，∥
又平面，平面
∥平面
在正方形中，∥，∥，
四边形为平行四边形
∥
又平面，平面
∥平面
，平面∥平面
又平面
∥平面. ……………6分
（Ⅱ）在正方形中，，又是等边三角形，所以，
所以
于是
又，平面，
又，平面
于是多面体是由直三棱柱和四棱锥组成的.
又直三棱柱的体积为，
四棱锥的体积为，
故多面体的体积为.……………12分
20. （本小题满分12分）
已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过P点作两条直线分别交椭圆C于两点，若直线PQ平分，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值．
20．解：（1）因为椭圆C的离心率为，所以，即，
所以椭圆C的方程可化为，
又椭圆C过点，所以，解得，
所以所求椭圆C的标准
方程为. …………………………………………4分
（2）由题意，设直线PA的方程为，
联立方程组
消去y得：， ………………6分
所以，即，
因为直线PQ平分，即直线PA与直线PB的斜率为互为相反数，
设直线PB的方程为，同理求得. …………9分
又所以，
即，.
所以直线AB的斜率为. ……………………12分
21. （本小题满分12分）
已知函数．
（I）当时，求的单调区间和极值；
（II）若对于任意，都有成立，求k的取值范围；
(Ⅲ)若，且，证明：．
21. 解：（1），
①时，因为，所以，
函数的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值；
②当时，令，解得，
当时，；当，．
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，
在区间上的极小值为，无极大值． ………4分
（2）由题意，，
即问题转化为对于恒成立，
即对于恒成立，
令，则，
令，则，
所以在区间上单调递增，故，故，
所以在区间上单调递增，函数．
要使对于恒成立，只要，
所以，即实数k的取值范围为． ……………8分
（3）证法1 因为，由（1）知，函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增，且．
不妨设，则，
要证，只要证，即证．
因为在区间上单调递增，所以，
又，即证，
构造函数，
即，．
，
因为，所以，即，
所以函数在区间上单调递增，故，
而，故，
所以，即，所以成立． ………12分
（3）证法2 要证成立，只要证：.
因为，且，所以，
即，，
即，
，同理，
从而，
要证，只要证，
令不妨设，则，
即证，即证，
即证对恒成立，
设，，
所以在单调递增，，得证，所以. ………12分
请考生在第(22)题、(23)两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中曲线的极坐标方程为，点. 以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点.
（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；
（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积.
22.解由得
即为曲线C的直角坐标方程.
直线的参数方程为为参数)
即为参数) …………………………………………..5分
(2) 直线的参数方程为参数)代入曲线C的方程得
,
设A,B对应的参数为,则
,由的几何意义知
………………………………….10分
23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数,其中
（Ⅰ）当时,求不等式的解集.
（Ⅱ）已知关于的不等式的解集为,求的值
23解(1)当时,
当时,由
当时,由,不成立.
当时,由
综上:当时,不等式的解集为 ………………………………….5分
(2)记
则
由
又已知的解集为
所以且,所以 ………………………………………………….10分
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