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小专题(一) 平行线的性质与判定的综合应用
平行线的性质:两直线平行,同位角相等、内错角相等、同旁内角互补.平行线的判定:
同位角相等或内错角相等或同旁内角互补,两直线平行.平行线的性质和判定常常结合在一
起,在解决问题时,要注意观察图形,选择合适的方法和解题思路,由性质得到的结论可以当
作判定的条件;反之,由判定的平行线也可以得到相关性质的结论.
类型 1 解决三角板问题
1.(安徽中考)直角三角板和直尺如图放置.若∠1=20°,则∠2 的度数为 (C)
A.60° B.50° C.40° D.30°
2.在一副三角板 ABC 和 CDE 中,∠B=30°,∠E=45°.
(1)当 AB∥CD 时,如图 1,求∠DCB 的度数;
(2)当 CD 与 CB 重合时,如图 2,判定 DE 与 AC 的位置关系,并说明理由;
(3)如图 3,当∠DCB 等于多少时,AB∥EC?
解:(1)∵AB∥CD,∴∠DCB=∠ABC=30°.
(2)DE∥AC.理由略.
(3)∵AB∥EC,∴∠ABC=∠BCE=30°,
又∵∠DCE=45°,∴∠DCB=∠DCE-∠BCE=15°,
∴当∠DCB 等于 15°时,AB∥EC.
类型 2 解决拐点问题
3.如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,试探究 AB 与 EF 的位置关系.2
解:AB∥EF.
理由:∵∠1=∠2,∴AB∥CD.
∵∠3=∠4,∴CD∥EF,∴AB∥EF.
4.(1)问题发现
如图 1,直线 AB∥CD,E 是 AB 与 CD 之间的一点,连接 BE,CE,可以发现∠B+∠C=∠BEC.
请把下面的证明过程补充完整:
证明:过点 E 作 EF∥AB,
∵AB∥DC(已知),EF∥AB(辅助线的作法),
∴EF∥DC( 平行于同一直线的两直线平行 ),
∴∠C=∠CEF( 两直线平行,内错角相等 ).
∵EF∥AB,∴∠B=∠BEF(同理),
∴∠B+∠C= ∠BEF+∠CEF (等量代换),
即∠B+∠C=∠BEC.
(2)拓展探究
如果点 E 运动到图 2 所示的位置,其他条件不变,求证:∠B+∠C=360°-∠BEC.
(3)解决问题
如图 3,AB∥DC,∠C=120°,∠AEC=80°,求∠A 的度数.
解:(2)过点 E 作 EF∥AB,点 F 在点 E 的左侧.
∵AB∥DC,EF∥AB,∴EF∥DC,
∴∠C+∠CEF=180°,∠B+∠BEF=180°,
∴∠B+∠C+∠BEC=360°,
∴∠B+∠C=360°-∠BEC.
(3)过点 E 作 EF∥AB,点 F 在点 E 的左侧.
∵AB∥DC,EF∥AB,∴EF∥DC,3
∴∠C+∠CEF=180°,∠A=∠AEF.
∵∠C=120°,∠AEC=80°,∴∠CEF=60°,
∴∠AEF=20°,∴∠A=∠AEF=20°.
类型 3 解决实际问题
5.如图 1 是大众汽车的图标,图 2 是该图标抽象出的几何图形,且 AC∥BD,∠A=∠B,试猜想
AE 与 BF 的位置关系,并说明理由.
解:AE∥BF.
理由:∵AC∥BD,∴∠A=∠DOE.
∵∠A=∠B,∴∠DOE=∠B,∴AE∥BF.
6.一辆货车在仓库装满货物准备运往超市,驶出仓库门口后开始向东行驶,途中向右拐了 50°
角,接着向前行驶,走了一段路程后,又向左拐了 50°角,如图所示.
(1)此时汽车和原来的行驶方向相同吗?你的根据是什么?
(2)如果汽车第二次向左拐的角度是 40°或 70°,此时汽车和原来的行驶方向相同吗?你的
根据是什么?
解:(1)汽车和原来的行驶方向相同.
理由:∵∠AOO'=∠A'O'B'=50°,
∴OA∥O'A'.
(2)汽车和原来的行驶方向不相同.
理由:∵40°≠50°,70°≠50°,4
∴OA 不平行于 O'A'.
类型 4 解决几何探究问题
7.如图,∠ABD 和∠BDC 的平分线相交于点 E,BE 的延长线交 CD 于点 F,∠1+∠2=90°.试猜
想:直线 AB,CD 在位置上有什么关系?∠2 和∠3 在数量上有什么关系?并证明你的猜想.
解:AB∥CD,∠2+∠3=90°.
理由:∵BE,DE 分别平分∠ABD,∠CDB,
∴∠ABD=2∠1,∠BDC=2∠2.
∵∠2+∠1=90°,∴∠ABD+∠CDB=180°,
∴AB∥CD,∴∠3=∠ABF.
∵∠1=∠ABF,∠2+∠1=90°,∴∠2+∠3=90°.
8.已知点 A 在射线 CE 上,∠C=∠D.
(1)如图 1,若 AC∥BD,求证:AD∥BC;
(2)如图 2,若∠BAC=∠BAD,BD⊥BC,请探究∠DAE 与∠C 的数量关系,写出你的探究结论,并
加以证明;
(3)如图 3,在(2)的条件下,过点 D 作 DF∥BC 交射线 CE 于点 F,当∠DFE=8∠DAE 时,求∠BAD
的度数.
解:(1)∵AC∥BD,∴∠DAE=∠D,
又∵∠C=∠D,∴∠DAE=∠C,
∴AD∥BC.
(2)∠DAE+2∠C=90°.
证明:在题图 2 中设 CE 与 BD 的交点为 G,
∵∠CGB 是△ADG 的外角,5
∴∠CGB=∠D+∠DAE,
∵BD⊥BC,∴∠CBD=90°,
∴在△BCG 中,∠CGB+∠C=90°,
∴∠D+∠DAE+∠C=90°,
又∵∠D=∠C,∴2∠C+∠DAE=90°.
(3)如题图 3,设∠DAE=α,则∠DFE=8α,
∵∠DFE+∠AFD=180°,∴∠AFD=180°-8α.
∵DF∥BC,∴∠C=∠AFD=180°-8α,
又∵2∠C+∠DAE=90°,∴2(180°-8α)+α=90°,∴α=18°,
∴∠C=180°-8α=36°=∠ADB,
又∵∠C=∠ADB,∠BAC=∠BAD,
∴∠ABC=∠ABD=1
2∠CBD=45°,
∴在△ABD 中,∠BAD=180°-45°-36°=99°.
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