2017年衡阳市八中高二12月份月考试题
数学(文科)
命题人：彭源 审题人：吕建设
考生注意：本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共22个小题，考试时间120分钟，
试卷满分100分.
一. 选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，把各题答案的代号填写涂在答题卷上.
1. 准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（ ）
A. B. C. D.
2. “x＞5”是“x2－4x－5＞0”是（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是( )
A．p为真 B．q为假 C．p∧q为假 D．p∨q为真
4. 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是( )
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
5. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
6. 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 曲线在处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，点P是椭圆与双曲线的一
个交点，则的面积是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
9. 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，C与抛物线的准线交于A，B两点，，则双曲线C的实轴长为（ ）
A． B． C．4 D．8
10. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12. 设A、B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，
则m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填写在答题卷相应的横线上.
13. 在元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出
的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，
所剩数据的方差为 .
14. 直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 .
15.做一个无盖的圆柱水桶，若要使水桶的体积为，且用料最省，则水桶的底面半径为 .
16. 设函数在区间的导函数为，在区间的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”，已知，若函数在区间上为“凸函数”，则实数
的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共52分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分8分)
为了了解学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.
（1）学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？
（2）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
（3）若次数在110以上(含110次)为良好，试估计该学校全体学生的良好率是多少？
18．(本小题满分8分)
已知函数在和处都取得极值.
（1）求，的值；
（2）求在区间上的最大值与最小值.
19. (本小题满分8分)
已知双曲线E：的两个焦点为.
（1）若点M在双曲线E上，且，求点M到x轴的距离；
（2）设椭圆C与双曲线E有相同焦点，且过点，求椭圆C的方程.
20. (本小题满分9分)
设A，B为曲线C：上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且，求直线AB的方程．
21. (本小题满分9分)
已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上, 椭圆上、下顶点与焦点所组成的四边形为正方形, 四个顶点围成的图形面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线过点且与椭圆相交于、两点, 当面积取得最大值时, 求直线的方程.
22. (本小题满分10分)
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当a﹤0时，证明．
2017年衡阳市八中高二12月份月考试题参考答案
数学(文科)
命题人：彭源 审题人：吕建设
考生注意：本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共22个小题，考试时间120分钟，
试卷满分100分.
一. 选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，把各题答案的代号填涂在答题卷中相应的方格内.
1. 准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（ ）
A. B. C. D.
2. “x＞5”是“x2－4x－5＞0”是（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是( )
A．p为真 B．q为假 C．p∧q为假 D．p∨q为真
4. 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是( )
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
5. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
6. 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 曲线在处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，点P是椭圆与双曲线的一
个交点，则的面积是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
9. 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，C与抛物线的准线交于A，B两点，，则双曲线C的实轴长为（ ）
A． B． C．4 D．8
10. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12. 设A、B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，
则m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
C
C
D
B
B
C
C
D
B
A
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填写在答题卷相应的横线上.
13. 在元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出
的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，
所剩数据的方差为 .
14. 直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 .
15.做一个无盖的圆柱水桶，若要使水桶的体积为，且用料最省，则水桶的底面半径
为 3 .
16. 设函数在区间的导函数为，在区间的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”，已知，若函数在区间上为“凸函数”，则实数的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共52分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分8分)
为了了解学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比2∶4∶17∶15∶9∶3，
第二小组频数为12.
（1）学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？
（2）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
（3）若次数在110以上(含110次)为良好，试估计该学校全体学生的良好率是多少？
解 (1)∵前三组的频率和为＝，
∴中位数落在第四小组内．
(2)频率为：＝0.08，
又∵频率＝，∴样本容量＝＝＝150.
(3)由图可估计所求良好率约为：×100%＝88%.
18．(本小题满分8分)
已知函数在和处都取得极值.
（1）求，的值；
（2）求在区间上的最大值与最小值.
解:（1）
（2）
19. (本小题满分8分)
已知双曲线E：的两个焦点为.
（1）若点M在双曲线E上，且，求点M到x轴的距离；
（2）设椭圆C与双曲线E有相同焦点，且过点，求椭圆C的方程.
解:（1）
（2）
20. (本小题满分9分)
设A，B为曲线C：上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且，求直线AB的方程．
解：（1）【解法1】设 ,AB 直线的斜率为k，又因为A,B都在曲线C上，所以
-得由已知条件
所以，即直线AB的斜率k=1．
【解法2】设 ,AB 直线的方程为y=kx+b,所以
整理得：且所以k=1
（2）：设 所以 又 所以
所以M（2,1），，，且，
即，设AB 直线的方程为，
化简得，所以
由得所以b=7或者b=-1(舍去) 所以AB 直线的方程为y=x+7
21. (本小题满分9分)
已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上, 椭圆上、下顶点与焦点所组成的四边形为正方形, 四个顶点围成的图形面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线过点且与椭圆相交于、两点, 当面积取得最大值时, 求直线的方程.
解：：（1）依题意有,且，结合，,
解得,所以椭圆方程为；
（2）直线的方程为，
联立直线的方程和椭圆的方程，得，
利用弦长公式计算，
利用点到直线距离公式计算，
所以，
利用换元法可求得当时，面积取得最大值为，
所求直线方程为.
22. (本小题满分10分)
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当a﹤0时，证明．
解：（1）f（x）的定义域为（0，+），.
若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.
若a＜0，则当x∈时，；当x∈时，.故f（x）在单调递增，在单调递减.
（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为
.
所以等价于，即
设g（x）=lnx-x+1，则
当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0,.从而当a＜0时，，即.
2017年衡阳市八中高二12月份月考加试试题参考答案
数学（文科）
命题人：彭源 审题人：吕建设
考生注意：本试卷共2个解答题, 每题10分,共20分.
23. (本小题满分10分)
（1）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数 N(n，3)＝n2＋n，
正方形数 N(n，4)＝n2，
五边形数 N(n，5)＝n2－n，
六边形数 N(n，6)＝2n2－n
……
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝____________.
解：三角形数 N(n，3)＝n2＋n＝，
正方形数 N(n，4)＝n2＝，
五边形数 N(n，5)＝n2－n＝，
六边形数 N(n，6)＝2n2－n＝，
k边形数 N(n，k)＝，
所以N(10，24)＝＝＝1 000.
（2）若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a>0，b>0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________.
解： 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1，P2的切线方程分别是－＝1，－＝1.
因为P0(x0，y0)在这两条切线上，故有－＝1，－＝1，
这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线－＝1上，
故切点弦P1P2所在的直线方程是－＝1.
24. (本小题满分10分)
微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信的时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人.若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中是青年人.
(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出2×2列联表；
青年人
中年人
总计
经常使用微信
不经常使用微信
总计
(2)由列联表中所得数据判断，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？
附：K2＝
P(K2≥k0)
0.010
0.001
k0
6.635
10.828
解：(1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有200×90%＝180(人).
经常使用微信的有180－60＝120(人)，
其中青年人有120×＝80(人)，
使用微信的人中青年人有180×75%＝135(人)，
所以2×2列联表：
青年人
中年人
总计
经常使用微信
80
40
120
不经常使用微信
55
5
60
总计
135
45
180
(2)将列联表中数据代入公式可得：
K2＝≈13.333，
由于13.333>10.828，所以有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”.
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