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2017 年衡阳市八中高二 12 月份月考
数学试题
命题人:彭韬 李瑶 审题人:宋仕利
时量 120 分钟 满分 100 分
一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)
1.若 xaxf cos)( 2 += ,则 )(' xf 等于 (B)
A. xa sin2 - B. xsin- C. xsin D. xa sin2 +
2.复数 z=(3-2i)i 的共轭复数 z 等于 ( C )
A.-2-3i B.-2+3i
C.2-3i D.2+3i
解析:选 C 因为复数 z=(3-2i)i=2+3i,所以 z =2-3i,故选 C.
3.曲线
2 1
xy x
上一点 1,1 处的切线方程为 ( B )
A. 2 0x y B. 2 0x y C. 4 5 0x y D. 4 5 0x y
4.设函数 2 lnf x xx
,则
( D )
A. 1
2x 为 f x 的极大值点 B. 1
2x 为 f x 的极小值点
C. 2x 为 f x 的极大值点 D. 2x 为 f x 的极小值点
5.下图中阴影部分的面积是 ( C )
A 32 B 329 C
3
32 D
3
35
6.已知函数 )(xf 的导函数为 )(xf ,满足 3)2(2)( xfxxf ,则 )2(f 等于 (B)2
y=x
f
'
(x)
-1
1
1
-1
o
y
x
A. 8 B. 12 C.8 D.12
7.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则 a10+b10
=( C )
A.28 B.76
C.123 D.199
解析:记 an+bn=f(n),则 f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=
f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现 f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*,n≥3),则 f(6)=f(4)+f(5)=
18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123.
所以 a10+b10=123.
8.已知函数 )(xfxy 的图像如右图所示(其中 )(xf 是函数 ))( 的导函数xf ,下面四
个图象中 )(xfy 的图象大致是 ( C )
3
1
-2
1
-1
2
2
-2
o
y
x
1
-2
1
-1
2
2
o
y
x
4
2
1
-2
o
y
x
4
2
2
-2
o
y
x
9.设 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数,且 (2) 0f ,当 0x 时,有 2
'( ) ( ) 0xf x f x
x
恒成立,
则不等式 0)( >xf 的解集为 ( D )
A.( 2,0) (2, ) B.( 2,0) (0,2) C.( , 2) (2, ) D.( , 2) (0,2)
【解析】令 ( )( ) ( 0)f xg x xx
,∴ 2
'( ) ( )'( ) 0xf x f xg x x
,即 ( )g x 在 (0, ) 上单调
递减,
∴当 0 2x 时, ( ) (2) 0f x f ,再由奇函数的性质可知当 2x 时, ( ) 0f x ,
∴不等式 2 ( ) 0x f x 的解集为 ( , 2) (0,2) .
10.若 f(x)= 21 ln( 2)2 x b x 在(-1,+ )上是减函数,则 b 的取值范围是(C )
A.[-1,+∞) B.(-1,+∞)C. 1, D.(-∞,-1)
11.设曲线 )(2018 *1 Nnxy n ∈= + 在点(1,2018)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 nx ,令
nn xa 2018log= ,则 2017321 aaaa +++ 的值为( D )3
A.2018 B.2017 C.1 D. 1
12. 定 义 : 如 果 函 数 )(xf 在 ba, 上 存 在 ),(, 2121 bxxaxx 满 足
ab
afbfxfab
afbfxf
)()()(,)()()( 21 ,则称函数 )(xf 是 ba, 上的“双中值函
数”。已知函数 axxxf 23
3
1)( 是 ],0[ a 上“双中值函数”,则实数 a 的取值范围是
(B )
A. )3,1( B. )3,2
3( C. )2
3,1( D. )3,2
3()2
3,1(
20 1
0 3
f a f a aa
,根据题意: 2 212 3f x x x a a 在 ],0[ a 上有两个不同的
实根,令 2 212 3g x x x a a 在 ],0[ a 上有两个不同的实根,需满足:
0 0
1 0
2 0
g
g
g
即:
2
2
2 2
1 03
11 2 03
12 03
a a
a a
a a a a
解得: 3 32 a ,所以答案为 B.
二、填空题.(本大题共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分.把答案填在答题卡中对应题号后
的横线上.)
13.已知复数 z= 5i
1+2i
(i 是虚数单位),则|z|=___ 5 _____.
14.已知函数 )(xf 为一次函数,其图像经过点(2,4),且 ∫
1
0
)( dxxf =3,则函数 f(x)
的解析式为________. f(x)=2
3x+8
3
15.设 a,b 是两个实数,给出下列条件:
①a+b=1;②a+b=2;③a+b>2;④ 222 >+ba 其中能推出“a,b 中至少有一个大于 1”
的条件是____③____.(填序号)
16. 设 0a , 函 数 xxxgx
axxf ln)(,)( , 若 对 任 意 的 1 2, [1, ]x x e , 都 有
1 2( ) ( )f x g x 成立,则 a 的取值范围为 ),- ∞+2[e
三、解答题.(本大题共 52 分,解答题应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分 6 分)用数学归纳法证明: 2n12(31 )=-n+++ .4
证明:当 n=1 时,左边 1=12=右边,结论成立;
假设 n=k 时结论成立,即 1+3+5+…+(2k-1)=k2;
当 n=k+1 时,左边
=1+3+5++(2k-1)+[2(k+1)-1]= k2+[2(k+1)-1]= k2+2k+1=(k+1)2=右边
所以,原命题结论成立.
18.(本小题满分 8 分)已知函数 3( )f x ax bx c 在 2x 处取得极值为 16c
(1) 求 a 、b 的值;(2)若 ( )f x 有极大值 28,求 ( )f x 在[ 3,3] 上的最大值。
【解析】1.(Ⅰ)因 3( )f x ax bx c 故 2( ) 3f x ax b 由于 ( )f x 在点 2x 处取得
极值
故有 (2) 0
(2) 16
f
f c
即 12 0
8 2 16
a b
a b c c
,化简得 12 0
4 8
a b
a b
解得 1
12
a
b
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 3( ) 12f x x x c , 2( ) 3 12f x x
令 ( ) 0f x ,得 1 22, 2x x 当 ( , 2)x 时, ( ) 0f x 故 ( )f x 在 ( , 2) 上为增函
数 ; 当 ( 2,2)x 时 , ( ) 0f x 故 ( )f x 在 ( 2,2) 上 为 减 函 数 当 (2, )x 时
( ) 0f x ,故 ( )f x 在 (2, ) 上为增函数。
由此可知 ( )f x 在 1 2x 处取得极大值 ( 2) 16f c , ( )f x 在 2 2x 处取得极小值
(2) 16f c 由题设条件知16 28c 得 12c ,
此时 ( 3) 9 21, (3) 9 3f c f c , (2) 16 4f c 因此 ( )f x 上[ 3,3] 的最小
值为 (2) 4f 。
19.(本小题满分 8 分)设曲线 xey x ( ≥0)在点 M(t, te )处的切线l 与 x 轴 y 轴所围成
的三角形面积为 s(t)。
(Ⅰ)求切线l 的方程;
(Ⅱ)求 S(t)的最大值.5
解:(Ⅰ)因为 ,)()( xx eexf 所以切线l 的斜率为 ,t e 故切线l 的方程为
).( txeey tt 即 0)1( teyxe tt 。
(Ⅱ)令 y= 0 得 x=t+1, x=0 得 )1( tey t
所以 S(t)= )1()1(2
1 tet t = tet 2)1(2
1 从而 ).1)(1(2
1)( ttetS t
∵当 t (0,1)时, )(tS >0, 当 t (1,+∞)时, )(tS