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高三模拟考试数学（文科）试题
满分150分时间120分钟.
第Ⅰ卷
一、 选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，四个选项中只有一项符合要求）
1．设全集U＝R，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（）
A.或 B. 或 C.D.
2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3．在等差数列中，若，，那么等于（）
A．4 B．5 C．9 D．18
4. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则( )
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
5．为了得到函数的图像，可将函数的图像（）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
6．若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为( )
A．－7 B．－1 C．1 D．2
7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为( )
A.B.C. D.
9．设，向量，且，则（）
A． B． C． D．
10．已知sin＝，则cos的值是( )
A. B. C．－ D．－
11．函数图象的大致形状是( )
12.已知定义在上的函数为其导数,且恒成立，则（）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设命题：函数的定义域为R；命题：当时，恒成立，如果命题“p∧q”为真命题，则实数的取值范围是
14．已知函数，则____________．
15．如图是某算法的程序框图，若任意输入
中的实数x，则输出的x大于49的概率为______．
16．如图所示，在梯形ABCD中，∠A＝，，BC＝2，点E为AB的中点，则____________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝6，S5＝15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设求数列的前n项和
18．（本小题满分12分）某中学在高二年级开设大学选修课程《线性代数》，共有名同学选修，其中男同学名，女同学名.为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采取分层抽样的方法抽取人进行考核.
（Ⅰ）求抽取的5人中男、女同学的人数；
（Ⅱ）考核前，评估小组打算从选出的中随机选出名同学进行访谈，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（Ⅲ）考核分答辩和笔试两项.位同学的笔试成绩分别为；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为.这位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为，试比较和的大小（不用计算最后结果，但需说明理由）
19（本小题满分12分）如图，在直三棱柱
ABC—A1B1C1中，AB=BC=BB1，，
D为AC上的点，B1C∥平面A1BD；
（Ⅰ）求证：BD⊥平面；
（Ⅱ）若且，
求三棱锥A-BCB1的体积．
20．（本小题满分12分）设椭圆C：的左顶点为，且椭圆C与直线相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的动直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数，使得？请说明理由．
21.（本小题满分12分）已知函数，其中.
(Ⅰ) 当a＝－1时，求证：；
(Ⅱ) 对任意，存在，使成立，
求a的取值范围. （e＝2.71828…）
四、选做题（在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分）
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.与相交于两点.
（Ⅰ）把和的方程化为直角坐标方程，并求点的直角坐标；
（Ⅱ）若为上的动点，求的取值范围.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲.
已知函数.
（1）求函数的值域；
（2）若，试比较，，的大小.
高三模拟考试数学（文）参考答案
一、
DBBCD ACCDBC
二、
三、17．【解析】：(1)设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，
∵S3＝6，S5＝15，
∴即解得
∴{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n. ----------4分
(2)由(1)得bn＝，∴Tn＝＋＋＋…＋＋，①
①式两边同乘，得
Tn＝＋＋＋＋…＋＋，②
①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－－，
∴Tn＝2－－. --------12分
18．解（Ⅰ）抽取的人中男同学的人数为，
女同学的人数为.--------2分
（Ⅱ）记名男同学为，名女同学为.从人中随机选出名同学，所有的可能结果有，共个.用表示：“选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件，则中的结果有个，它们是.
所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率.--------8分
（Ⅲ）第二组每个数据都比第一组数据多10 ，所以方差不变。.
--------12分
19．解：（Ⅰ）连结ED，-----------------------1分
∵平面AB1C∩平面A1BD=ED，B1C∥平面A1BD，
∴B1C∥ED，------------------3分
∵E为AB1中点，∴D为AC中点，
∵AB=BC，∴BD⊥AC①，------------------4分
由A1A⊥平面ABC，平面ABC，得A1A⊥BD②，
由①②及A1A、AC是平面内的两条相交直线，
得BD⊥平面.-------------------------6分
（Ⅱ）由得BC=BB1=1，
由（Ⅰ）知，又得,------------8分
∵，∴， ---------------10分
∴∴.-------------12分
其它解法请参照给分．
20．（1）根据题意可知，所以，·······1分
由椭圆C与直线相切，联立得，
消去可得：，··············3分
，即，解得：或3，
所以椭圆的标准方程为．·············5分
（2）当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设两点的坐标分别为，，
联立得，化简，
所以，···············7分
所以
所以当时，；··········10分
当过点的直线的斜率不存在时，，
所以，
所以当时，；
综上所述，当时，．·········12分
21.（Ⅰ）当a＝－1时，（x＞0），
则，令，得．
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
故当时，函数取得极大值，也为最大值，所以，
所以，，得证．·········· 4分
（II）原题即对任意，存在，使成立，
只需．··········5分
设，则，
令，则对于恒成立，
所以为上的增函数，
于是，即对于恒成立，
所以为上的增函数，则．
··········8分
令，则，
当a≥0时，为的减函数，且其值域为R，符合题意．
当a＜0时，，由得，
由得，则p(x)在上为增函数；由得，则p(x)在上为减函数，所以，
从而由，解得．
综上所述，a的取值范围是.··········12分
22．选修4-4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）.
解得或.·····4分
（Ⅱ）设，不妨设，
则
，
所以的取值范围为.·····10分
23．【解析】（1）
根据函数的单调性可知，当时，.
所以函数的值域.---------------5分
（2）因为，所以，所以.
又，
时，，
所以，
所以.---------------10分
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