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高三模拟考试数学(理科)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（共小题，每题只有一个正确答案，每小题分，共分）
1．已知集合， ，则=（ ）
A. B. C. D.
2．已知为虚数单位， 为复数的共轭复数，若，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.若为第二象限角，且，那么是（ ）
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
4．下图的程序框图表示求算式之值，则判断框内可以填( )
A. B． C． D．
5．在中， ，是角A，B，C，成等差数列的（ ）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也必要条件
6．锐角三角形中， 分别是内角的对边，设，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积是 （ ）
A. B. C. D.
8．在中，点是的三等分点（靠近点B），过点的直线分别交直线， 于不同两点，若， ， 均为正数，则的最小值为（ ）
A. 2 B. C. D.
9．设为等差数列，若，且它的前项和有最小值，那么当取得最小正值时的值为（ ）
A. B. C. D.
10．为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（ ）
A. 720 B. 768 C. 810 D. 816
11．已知双曲线的右顶点为A，抛物线的焦点为F，若在E的渐近线上存在点P使得，则E的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12．设是定义在的奇函数，其导函数为，且当时， ，则关于的不等式的解集为 ( )
A. B.
C. D.
二、填空题（共小题，每题只有一个正确答案，每小题分，共分）
13．已知曲线， ，与轴所围成的图形的面积为，则__________．
14．已知，观察下列算式：
；…
若，则的值为_____________________．
15.若，则的值______．
16.三棱锥中， 平面，且，则该三棱锥的外接球的表面积是_________________．
三、解答题（共6小题，17—21题12分，选做题10分共70分）
17．设向量，其中，且函数.
（1）求的最小正周期；
（2）设函数，求在上的零点.
18．如图，五面体中，平面,为直角梯形，.
（1）若为的中点，求证：//平面；
（2）求二面角的余弦值.
19.已知在公差不为零的等差数列中， 和的等差中项为11，且，其前项和为．
（1） 求的通项公式；
（2） 求证： ．
20．给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.
（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；
（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.
①当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明；
②求证：线段的长为定值.
21．已知函数， .
(1)如果对任意， 恒成立，求的取值范围；
(2)若函数有两个零点，求的取值范围；
(3)若函数的两个零点为，证明：
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的普通方程是，曲线的参数方程是（为参数）．在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程是．
（1）写出及的极坐标方程；
（2）已知，，与交于两点，与交于两点，
求的最大值．
23.选修4-5：不等式选讲
已知，函数的最小值为1.
（1）求证：；
（2）若恒成立，求实数的最大值.
高三模拟考试数学（理）参考答案
一、 选择题：
1-5 BACCB 6-10 ACDCB 11-12 BD
二、填空题：
13、 14、 15、125 16、
三、解答题：
17.解：（1）
，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分
∴函数的最小正周期为.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分
（2）
，
由得， ，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分
当时， ，
∴或，
即或.
∴函数在上的零点是和.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
18.解:（1）证明：取的中点，连接，
因为分别是的中点，所以且，
因为，所以且，所以,
又平面平面，所以平面.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，
则，
,
设平面的一个法向量为，则，
令，得，
同理可求平面的一个法向量为，
平面和平面为同一个平面，
所以二面角的余弦值为.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
19. 解（1）由题意可知， ，则，
解得，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分
（2） ，
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分
，
，得证┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
20．解（1），椭圆方程为，
准圆方程为． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分
（2）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，
设过点且与椭圆相切的直线为，
所以由得.
因为直线与椭圆相切，
所以，解得， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分
所以方程为．
， ． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分
（ⅱ）①当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，
则： ，
当： 时，与准圆交于点，
此时为（或），显然直线垂直；
同理可证当： 时，直线垂直┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分
②当斜率存在时，设点，其中.
设经过点与椭圆相切的直线为，
所以由
得.
由化简整理得，
因为，所以有.
设的斜率分别为，因为与椭圆相切，
所以满足上述方程，
所以，即垂直． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分
综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直.
所以线段为准圆的直径， ，
所以线段的长为定值． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12
21.解：（1）对， 恒成立
，对恒成立
令，则，
易知： 在上递减，在上递增.
， 的取值范围是┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分
（2）有两个零点，等价于与有两个不同的交点，
由 （1）知， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分
（3）证明：由（2）知：不妨设，
则， ，即
令，
，即为增函数
，即
因为，故
由，得
由（1）知在上递减，
故，即： ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
22. 解：（1）把，代入得，
所以极坐标方程是．
的普通方程是，其极坐标方程是．┅┅┅┅┅5分
（2）：，：，分别代入，得，．
所以．
因为，当时，所以取最大值……10分
23.解：（1）法一：，
∵且，
∴，当时取等号，即的最小值为，
∴，.
法二：∵，
∴，
显然在上单调递减，在上单调递增，
∴的最小值为，
∴，. ┅┅┅┅┅5分
（2）∵恒成立，∴恒成立，
当时，取得最小值，∴，
即实数的最大值为.……10分
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