2.2 一元二次方程的解法(3)
A 练就好基础 基础达标
1．用配方法解方程2x2－4x＋3＝0，配方正确的是( D )
A．2x2－4x＋4＝3＋4
B．2x2－4x＋4＝－3＋4
C．x2－2x＋1＝＋1
D．x2－2x＋1＝－＋1
2．把方程2x2－4x－1＝0化为(x＋m)2＝ 的形式，则m的值是( B )
A．2 B．－1 C．1 D．－2
3．用配方法解方程2x2－x－1＝0时，配方结果正确的是( D )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
4．若9x2－ax＋4是一个完全平方式，则a等于( C )
A．12 B．－12
C．12或－12 D．6或－6
5．把方程2x2－12x－11＝0化为(x＋m)2＝n的形式，结果为__(x－3)2＝__．
6．将下列各式配方：
(1)4y2－12y＋__9__＝(2y－__3__)2；
(2)2x2＋10x＝2(x＋____)2－____．
7．若2x2－3x－7＝2(x－m)2＋n，则m＝____，n＝__－__．
8．用配方法解下列方程：
(1)4x2－4x－1＝0；
(2)2x2＋6x＋2＝0；
(3)x2－2x－＝0.
【答案】 (1)x1＝，x2＝
(2)x1＝，x2＝－
(3)x1＝，x2＝
9．当x为何值时，代数式2x2＋7x－1的值与代数式x2－19的值互为相反数？
解：由题意，得2x2＋7x－1＝－(x2－19)，
整理，得3x2＋7x＝20.
两边都除以3，得x2＋x＝，
配方，得x2＋x＋＝＋，
＝，
开平方，得x＋＝±，
所以x1＝－4，x2＝.
即当x＝－4或时，代数式2x2＋7x－1的值与代数式x2－19的值互为相反数．
10．已知9x2－18(2－k)x＋18(6－k)是关于x的完全平方式，求常数k的值．
解：∵9x2－18(2－k)x＋18(6－k)＝9[x2－2(2－k)x＋2(6－k)]是关于x的完全平方式，
∴(2－k)2＝2(6－k)，即k2－2k－8＝0，
分解因式，得(k－4)(k＋2)＝0，
解得k＝4或k＝－2.
B 更上一层楼 能力提升
11．对于代数式3x2－6x＋5，通过配方能说明它的值一定是( B )
A．负数 B．正数
C．非负数 D．非正数
12．若方程式(3x－m)2－60＝0的两根均为正数，其中m为整数，则m的最小值为( B )
A．1 B．8
C．16 D．61
13．数学语言包括文字语言、符号语言、图形语言等．我们来看一道用文字语言表述的数学问题：“一个正数的平方与这个数的2倍的和等于24，求这个数．”此题用符号语言简洁地表示为(设该数为x)：____________________．
“解方程，得________________(x＞0)．”
如图所示，也可用图形语言直观地表示为如下的问题：“已知图形的总面积为24，求x.”
现在来看看如何利用图形帮助我们理解方程的解法：
由x2＋2x＝24配方，得x2＋2x＋1＝25， ①
所以(x＋1)2＝25. ②
∵x>0，∴x＋1＝5，∴x＝4.
请在所给图中添上辅助线，表示①和②式中配方的几何意义．
解：x2＋2x＝24 x＝4
辅助线如图所示：
C 开拓新思路 拓展创新
14. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知x可取任何实数，试求二次三项式2x2－12x＋14的值的范围．
解：2x2－12x＋14＝2(x2－6x)＋14
＝2(x2－6x＋32－32)＋14
＝2[(x－3)2－9]＋14＝2(x－3)2－18＋14
＝2(x－3)2－4.
∵无论x取何实数，总有(x－3)2≥0，
∴2(x－3)2－4≥－4.
即无论x取何实数，2x2－12x＋14的值总是不小于－4的实数．
问题：
(1)已知x可取任何实数，则二次三项式－3x2＋12x－11的最值情况是( C )
A．有最大值－1 B．有最小值－1
C．有最大值1 D．有最小值1
(2)试证明：不论k取何实数，关于x的方程(k2－6k＋12)x2＝3－(k2－9)x总是一元二次方程．
(3)已知等式x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，求xy的值．
【答案】 (2)证明：∵k2－6k＋12＝
(k－3)2＋3≥3，
且关于x的方程(k2－6k＋12)x2＝3－(k2－9)x的未知数的最高次数是2，
又∵该方程是整式方程，含有一个未知数，
∴不论k取何实数，关于x的方程
(k2－6k＋12)x2＝3－(k2－9)x必是一元二次方程．
(3)对x2＋y2－2x＋4y＋5＝0进行配方，得
x2－2x＋1＋y2＋4y＋4＝0
∴(x－1)2＋(y＋2)2＝0.
∴ 解，得
∴xy＝－2.
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