2.2 一元二次方程的解法(3)
A 练就好基础 基础达标
1.用配方法解方程2x2-4x+3=0,配方正确的是( D )
A.2x2-4x+4=3+4
B.2x2-4x+4=-3+4
C.x2-2x+1=+1
D.x2-2x+1=-+1
2.把方程2x2-4x-1=0化为(x+m)2= 的形式,则m的值是( B )
A.2 B.-1 C.1 D.-2
3.用配方法解方程2x2-x-1=0时,配方结果正确的是( D )
A.= B.=
C.= D.=
4.若9x2-ax+4是一个完全平方式,则a等于( C )
A.12 B.-12
C.12或-12 D.6或-6
5.把方程2x2-12x-11=0化为(x+m)2=n的形式,结果为__(x-3)2=__.
6.将下列各式配方:
(1)4y2-12y+__9__=(2y-__3__)2;
(2)2x2+10x=2(x+____)2-____.
7.若2x2-3x-7=2(x-m)2+n,则m=____,n=__-__.
8.用配方法解下列方程:
(1)4x2-4x-1=0;
(2)2x2+6x+2=0;
(3)x2-2x-=0.
【答案】 (1)x1=,x2=
(2)x1=,x2=-
(3)x1=,x2=
9.当x为何值时,代数式2x2+7x-1的值与代数式x2-19的值互为相反数?
解:由题意,得2x2+7x-1=-(x2-19),
整理,得3x2+7x=20.
两边都除以3,得x2+x=,
配方,得x2+x+=+,
=,
开平方,得x+=±,
所以x1=-4,x2=.
即当x=-4或时,代数式2x2+7x-1的值与代数式x2-19的值互为相反数.
10.已知9x2-18(2-k)x+18(6-k)是关于x的完全平方式,求常数k的值.
解:∵9x2-18(2-k)x+18(6-k)=9[x2-2(2-k)x+2(6-k)]是关于x的完全平方式,
∴(2-k)2=2(6-k),即k2-2k-8=0,
分解因式,得(k-4)(k+2)=0,
解得k=4或k=-2.
B 更上一层楼 能力提升
11.对于代数式3x2-6x+5,通过配方能说明它的值一定是( B )
A.负数 B.正数
C.非负数 D.非正数
12.若方程式(3x-m)2-60=0的两根均为正数,其中m为整数,则m的最小值为( B )
A.1 B.8
C.16 D.61
13.数学语言包括文字语言、符号语言、图形语言等.我们来看一道用文字语言表述的数学问题:“一个正数的平方与这个数的2倍的和等于24,求这个数.”此题用符号语言简洁地表示为(设该数为x):____________________.
“解方程,得________________(x>0).”
如图所示,也可用图形语言直观地表示为如下的问题:“已知图形的总面积为24,求x.”
现在来看看如何利用图形帮助我们理解方程的解法:
由x2+2x=24配方,得x2+2x+1=25, ①
所以(x+1)2=25. ②
∵x>0,∴x+1=5,∴x=4.
请在所给图中添上辅助线,表示①和②式中配方的几何意义.
解:x2+2x=24 x=4
辅助线如图所示:
C 开拓新思路 拓展创新
14. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程,其实配方法还有其他重要应用.
例:已知x可取任何实数,试求二次三项式2x2-12x+14的值的范围.
解:2x2-12x+14=2(x2-6x)+14
=2(x2-6x+32-32)+14
=2[(x-3)2-9]+14=2(x-3)2-18+14
=2(x-3)2-4.
∵无论x取何实数,总有(x-3)2≥0,
∴2(x-3)2-4≥-4.
即无论x取何实数,2x2-12x+14的值总是不小于-4的实数.
问题:
(1)已知x可取任何实数,则二次三项式-3x2+12x-11的最值情况是( C )
A.有最大值-1 B.有最小值-1
C.有最大值1 D.有最小值1
(2)试证明:不论k取何实数,关于x的方程(k2-6k+12)x2=3-(k2-9)x总是一元二次方程.
(3)已知等式x2+y2-2x+4y+5=0,求xy的值.
【答案】 (2)证明:∵k2-6k+12=
(k-3)2+3≥3,
且关于x的方程(k2-6k+12)x2=3-(k2-9)x的未知数的最高次数是2,
又∵该方程是整式方程,含有一个未知数,
∴不论k取何实数,关于x的方程
(k2-6k+12)x2=3-(k2-9)x必是一元二次方程.
(3)对x2+y2-2x+4y+5=0进行配方,得
x2-2x+1+y2+4y+4=0
∴(x-1)2+(y+2)2=0.
∴ 解,得
∴xy=-2.