轴对称
本章中考演练
一、选择题
1．2018·苏州 下列四个图案中，不是轴对称图案的是( )
图5－Y－1
2．2017·呼和浩特 如图5－Y－2，序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形，都是△ABC进行一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是( )
图5－Y－2
A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)
3．2018·黄冈 如图5－Y－3，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为( )
A．50° B．70°
C．75° D．80°
图5－Y－3
4．2018·湖州 如图5－Y－4，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( )
A．20° B．35° C．40° D．70°
图5－Y－4
5．2018·福建 如图5－Y－5，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
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图5－Y－5
6．2018·天津 如图5－Y－6，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则下列结论一定正确的是( )
A．AD＝BD
B．AE＝AC
C．ED＋EB＝DB
D．AE＋CB＝AB
图5－Y－6
二、填空题
7．2018·成都 等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为________．
8．2018·毕节 如图5－Y－7，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是________．
图5－Y－7
9．2018·南充 如图5－Y－8，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝________度．
图5－Y－8
10．2018·遵义 如图5－Y－9，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠CAE＝16°，则∠B为________度．
图5－Y－9
11．2018·吉林 我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝，则该等腰三角形的顶角为________度．
三、解答题
12．2017·自贡 两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图5－Y－10所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P.(不要求写作法，保留作图痕迹)
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图5－Y－10
13．2018·宁波 如图5－Y－11，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D与A，B不重合)，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE.
(1)试说明：△ACD≌△BCE；
(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数．
图5－Y－11
14．2018·长春改编 图5－Y－12①②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM，ON的端点均在格点上，OM＝ON.在图①②给定的网格中以OM，ON为邻边各画一个四边形，使这四个顶点在格点上．要求：
(1)所画的两个四边形均是轴对称图形．
(2)所画的两个四边形不全等．
图5－Y－12
15．2018·绍兴 数学课上，张老师举了下面的例题：
例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．
例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式题：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．
(1)请你解答以上的例1、例2及变式题．
(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
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详解详析
1．[解析] B A项，是轴对称图案，故本选项错误；B项，不是轴对称图案，故本选项正确；C项，是轴对称图案，故本选项错误；D项，是轴对称图案，故本选项错误．故选B.
2．[解析] A 根据轴对称的性质可知对应点所连的线段被对称轴垂直平分．
3．[解析] B 因为DE是AC的垂直平分线，
所以DA＝DC，
所以∠DAC＝∠C＝25°.
因为∠B＝60°，∠C＝25°，
所以∠BAC＝95°，
所以∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝70°.
故选B.
4．[解析] B 因为AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°，
所以∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝(180°－∠CAB)＝70°.
因为CE是△ABC的角平分线，
所以∠ACE＝∠ACB＝35°.
故选B.
5．[解析] A 因为等边三角形ABC中，AD⊥BC，所以BD＝CD，
即AD是BC的垂直平分线．
因为点E在AD上，
所以BE＝CE，
所以∠EBC＝∠ECB.
因为∠EBC＝45°，
所以∠ECB＝45°.
因为△ABC是等边三角形，
所以∠ACB＝60°，
所以∠ACE＝∠ACB－∠ECB＝15°，
故选A.
6．[解析] D 因为△BDE由△BDC翻折而成，
所以EB＝CB.
因为AE＋EB＝AB，
所以AE＋CB＝AB，
故D正确，
故选D.
7．80°
8．[答案] 16
[解析] 因为DE是AB的垂直平分线，
所以AE＝BE.
因为AC＝10，BC＝6，
所以△BCE的周长＝BC＋BE＋CE＝BC＋AE＋CE＝BC＋AC＝6＋10＝16.
故答案为16.
9．[答案] 24
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[解析] 因为DE是AC的垂直平分线，
所以EA＝EC，
所以∠EAC＝∠C，
所以∠FAC＝∠C＋19°.
因为AF平分∠BAC，
所以∠FAB＝∠C＋19°.
因为∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，
所以70°＋2(∠C＋19°)＋∠C＝180°，
解得∠C＝24°，
故答案为24.
10．[答案] 37
[解析] 先判断出∠AEC＝90°，进而求出∠ADC＝∠C＝74°，最后用等腰三角形的外角等于底角的2倍即可得出结论．
因为AD＝AC，点E是CD中点，
所以AE⊥CD，
所以∠AEC＝90°，
所以∠C＝90°－∠CAE＝74°.
因为AD＝AC，
所以∠ADC＝∠C＝74°.
因为AD＝BD，
所以∠B＝∠BAD.由三角形的内角和及邻补角易得2∠B＝∠ADC＝74°，
所以∠B＝37°，
故答案为37.
11．[答案] 36
[解析] 如图．因为△ABC中，AB＝AC，
所以∠B＝∠C.
因为等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝，
所以∠A∶∠B＝1∶2，
即5∠A＝180°，
所以∠A＝36°，
故答案为36.
12．解：如图所示，点P即为所求．
13．解：(1)因为线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，
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所以∠DCE＝90°，CD＝CE.
又因为∠ACB＝90°，
所以∠ACB＝∠DCE，
所以∠ACD＝∠BCE.
在△ACD和△BCE中，
因为CD＝CE，∠ACD＝∠BCE，AC＝BC，
所以△ACD≌△BCE(SAS)．
(2)因为∠ACB＝90°，AC＝BC，
所以∠A＝45°.
因为△ACD≌△BCE，
所以AD＝BE，∠CBE＝∠A＝45°.
又因为AD＝BF，
所以BE＝BF，
∠BEF＝∠BFE＝＝67.5°.
14．解：如图所示：
15．解：(1)例1：35°
例2：40°或70°或100°
变式题：若∠A为顶角，
则∠B＝(180°－∠A)÷2＝50°；
若∠A为底角，∠B为顶角，
则∠B＝180°－2×80°＝20°；
若∠A为底角，∠B为底角，
则∠B＝80°.
故∠B的度数为50°或20°或80°.
(2)分两种情况：
①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，
所以∠B的度数只有一个；
②当0＜x＜90时，
若∠A为顶角，则∠B＝()°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝(180－2x)°；
若∠A为底角，∠B为底角，
则∠B＝x°.
当≠180－2x且180－2x≠x且≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．
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