2017_2018学年高中数学课下能力提升（六）空间图形的公理4及等角定理北师大版必修2.doc

课下能力提升（六）空间图形的公理4及等角定理 一、选择题 ‎1．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是(　　)‎ A．异面　　　　　　　　　B．相交 C．平行 D．异面或相交 2． 如图所示，在三棱锥PABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有(　　)‎ A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 3． 如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有(　　)‎ A．3条　　　　　　B．4条 C．5条 D．6条 ‎4．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是(　　)‎ A．5 B．‎10 C．12 D．不能确定 ‎5．异面直线a，b，有aα，bβ且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是(　　)‎ A．c与a，b都相交 B．c与a，b都不相交 C．c至多与a，b中的一条相交 D．c至少与a，b中的一条相交 二、填空题 ‎6．如图，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B‎1C1D1的对角线，‎ ‎(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；‎ 4‎ ‎(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．‎ ‎7．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________．‎ 8． 如图，正方体ABCDA1B‎1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C‎1C的中点．有以下四个结论： ‎ ‎①直线AM与CC1是相交直线 ‎②直线AM与BN是平行直线 ‎③直线BN与MB1是异面直线 ‎④直线AM与DD1是异面直线 其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．‎ 三、解答题 ‎9．长方体ABCDA1B‎1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．‎ ‎(1)求证：D1E∥BF；‎ ‎(2)求证：∠B1BF＝∠D1EA1.‎ 10． 如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且＝＝λ，＝＝μ. ‎ ‎(1)当λ＝μ时，求证：四边形EFGH是平行四边形；‎ ‎(2)当λ≠μ时，求证：①四边形EFGH是梯形；②三条直线EF，HG，AC交于一点．‎ 4‎ 答 案 ‎1. 解析：选D　a与c不可能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A矛盾，而a与c异面、相交都有可能．‎ ‎2. 解析：选B　据异面直线的定义可知共有3对．AP与BC，CP与AB，BP与AC.‎ ‎3. 解析：选B　由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B‎1C1，因为和棱B‎1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．‎ ‎4. 解析：选B　如图所示，由三角形中位线的性质可得EHBD，FGBD，‎ 再根据公理4可得四边形EFGH是平行四边形，那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，所以EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10.‎ ‎5. 解析：选D　若c与a、b都不相交，‎ ‎∵c与a在α内，∴a∥c.‎ 又c与b都在β内，∴b∥c.‎ 由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．‎ 如图，只有以下三种情况．‎ ‎6. 解析：(1)B1D1∥BD，B‎1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B‎1C1的两边分别平行且方向相同；‎ ‎(2)B1D1∥ BD，D‎1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D‎1A1的两边分别平行且方向相反．‎ 答案：(1)∠D1B‎1C1　(2)∠B1D‎1A1‎ ‎7. 解析：如图，可借助长方体理解，‎ 令a＝CC1，b＝A1B1，则BC，AD，DD1均满足题目条件，故直线a和直线c的位置关系是平行、相交或异面．‎ 答案：平行、相交或异面 ‎8. 解析：由异面直线的定义知③④正确．‎ 答案：③④‎ 4‎ ‎9. 证明：(1)取BB1的中点M，连接EM，C‎1M.‎ 在矩形ABB‎1A1中，易得EMA1B1，‎ ‎∵A1B‎1C1D1，∴EMC1D1，‎ ‎∴四边形EMC1D1为平行四边形，‎ ‎∴D1E∥C‎1M.‎ 在矩形BCC1B1中，易得MBC‎1F，‎ ‎∴四边形BFC‎1M为平行四边形，‎ ‎∴BF∥C‎1M，∴D1E∥BF.‎ ‎(2)∵ED1∥BF，BB1∥EA1，‎ 又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同，‎ ‎∴∠B1BF＝∠D1EA1.‎ ‎10. 证明：在△ABD中，＝＝λ，故EHλBD.同理FGμBD.‎ 由公理4得EH∥FG，又可得FG＝EH.‎ ‎(1)若λ＝μ，则FG＝EH，故EFGH是平行四边形．‎ ‎(2)①若λ≠μ，则EH≠FG，故EFGH是梯形．‎ ‎②在平面EFGH中EF、HG不平行，必然相交．‎ 设EF∩HG＝O，则由O∈EF，EF平面ABC，得O∈平面ABC.‎ 同理有O∈HG平面ACD.‎ 而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以O∈AC，即EF、HG、AC交于点O.‎ 4‎