2017_2018学年高中数学课下能力提升（九）垂直关系的判定北师大版必修2.doc

课下能力提升（九）垂直关系的判定 一、选择题 ‎1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(　　)‎ A．平行　　　　　　　　　‎ B．垂直 C．相交不垂直 ‎ D．不确定 ‎2．在三棱锥ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么必有(　　)‎ A．平面ABD⊥平面ADC ‎ B．平面ABD⊥平面ABC C．平面ADC⊥平面BCD ‎ D．平面ABC⊥平面BCD ‎3．在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，与AD1垂直的平面是(　　)‎ A．平面DD‎1C1C ‎ B．平面A1DCB1‎ C．平面A1B‎1C1D1 ‎ D．平面A1DB ‎4．设l、m为不同的直线，α为平面，且l⊥α，下列为假命题的是(　　)‎ A．若m⊥α，则m∥l ‎ B．若m⊥l，则m∥α C．若m∥α，则m⊥l ‎ D．若m∥l，则m⊥α ‎5．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC，CD的中点，H是EF的中点，现沿AE、AF，EF把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是(　　)‎ A．AG⊥平面EFG B．AH⊥平面EFG C．GF⊥平面AEF D．GH⊥平面AEF 二、填空题 ‎6．如图，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D 5‎ 的位置关系是________．‎ ‎7．如图所示，底面ABCD是矩形．PA⊥平面ABCD，则图中互相垂直的平面共有________对．‎ ‎8．已知点O为三棱锥PABC的顶点P在平面ABC内的射影，若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的________心；若PA⊥BC，PB⊥AC，则O为△ABC的________心；若P到三边AB，BC，CA的距离都相等且点O在△ABC的内部，则O为△ABC的__________心．‎ 三、解答题 ‎9.如图，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.‎ ‎10．(北京高考)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A‎1F⊥CD，如图2.‎ ‎(1)求证：DE∥平面A1CB；‎ ‎(2)求证：A‎1F⊥BE；‎ ‎(3)线段A1B上是否存在点Q，使A‎1C⊥平面DEQ？说明理由．‎ 答 案 ‎1. 解析：选B　由线面垂直的判定定理知直线垂直于三角形所在的平面．‎ ‎2. 解析：选C　由AD⊥BC，BD⊥AD，BC∩BD＝B⇒AD⊥平面BCD，AD 平面ADC，∴‎ 5‎ 平面ADC⊥平面BCD.‎ ‎3. 解析：选B　如图，连接A1D、B‎1C，由ABCDA1B‎1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D.故AD1⊥平面A1DCB1.‎ ‎4. 解析：选B　A中，若l⊥α，m⊥α，则m∥l，所以A正确；B中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或mα，所以B错误；C中，若l⊥α，m∥α，则m⊥l，所以C正确；若l⊥α，m∥l，则m⊥α，所以D正确．‎ ‎5. 解析：选A　∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE＝G，‎ ‎∴AG⊥平面EFG.‎ ‎6. 解析：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.‎ 又∵D1D⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，‎ ‎∴D1D⊥AC.∵D1D∩DB＝D，∴AC⊥平面BB1D1D.‎ ‎∵AC 平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BB1D1D.‎ 答案：垂直 ‎7. 解析：图中互相垂直的面共有6对，即平面PAB⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD.‎ 答案：6‎ ‎8. 解析：如图，由PA＝PB＝PC，‎ ‎∴OA＝OB＝OC，O是△ABC的外心；‎ 若PA⊥BC，又PO⊥面ABC，‎ ‎∴BC⊥PO.‎ ‎∴BC⊥面PAO.∴BC⊥AO.‎ 5‎ 同理AC⊥OB.∴O是△ABC的垂心；‎ 若P到AB，BC边的距离相等，则易知O到AB，BC边的距离也相等，从而可判定O是△ABC的内心．‎ 答案：外　垂　内 ‎9. 证明：设AC∩BD＝O，连接OE.如图．‎ 因为O为AC中点，E为PA的中点，‎ 所以EO是△PAC的中位线，EO∥PC.‎ 因为PC⊥平面ABCD，‎ 所以EO⊥平面ABCD.‎ 又因为EO 平面BDE，‎ 所以平面BDE⊥平面ABCD.‎ ‎10. 解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，‎ 所以DE∥BC.‎ 又因为DE⊄平面A1CB，‎ 所以DE∥平面A1CB.‎ ‎(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，‎ 所以DE⊥AC.‎ 所以DE⊥A1D，DE⊥CD.‎ 所以DE⊥平面A1DC.‎ 而A‎1F⊂平面A1DC，‎ 所以DE⊥A‎1F.‎ 又因为A‎1F⊥CD，所以A‎1F⊥平面BCDE.‎ 所以A‎1F⊥BE.‎ ‎(3)线段A1B上存在点Q，使A‎1C⊥平面DEQ.理由如下：‎ 如图，分别取A‎1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.‎ 又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.‎ 5‎ 所以平面DEQ即为平面DEP.‎ 由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A‎1C.‎ 又因为P是等腰三角形DA‎1C底边A‎1C的中点，‎ 所以A‎1C⊥DP.‎ 所以A‎1C⊥平面DEP.‎ 从而A‎1C⊥平面DEQ.‎ 故线段A1B上存在点Q，使得A‎1C⊥平面DEQ.‎ 5‎