2017_2018学年高中数学课下能力提升（十）垂直关系的性质北师大版必修2.doc

课下能力提升（十）垂直关系的性质 一、选择题 ‎1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有(　　)‎ A．α⊥γ且l⊥m　　　　　B．α⊥γ且m∥β C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ ‎2．(浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面(　　)‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n ‎ B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α ‎ D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β ‎3．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，PE⊥DE，则PE的长为(　　)‎ A. B. C. D. ‎4．设平面α⊥平面β，且α∩β＝l，直线aα，直线bβ，且a不与l垂直，b不与l垂直，那么a与b(　　)‎ A．可能垂直，不可能平行 B．可能平行，不可能垂直 C．可能垂直，也可能平行 D．不可能垂直，也不可能平行 ‎5．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列命题正确的是(　　)‎ A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC 二、填空题 ‎6．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β 5‎ 之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.‎ ‎7．已知平面α⊥平面β，在α，β的交线上取线段AB＝‎4 cm，AC，BD分别在平面α和β内，它们都垂直于AB，并且AC＝‎3 cm，BD＝‎12 cm，则CD的长为________ cm.‎ ‎8．已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列命题：‎ ‎①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；‎ ‎②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；‎ ‎③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；‎ ‎④若α∩β＝m，m∥n，且nα，nβ，则n∥α且n∥β.‎ 其中正确的命题的序号是________(注：把你认为正确的命题的序号都填上)．‎ 三、解答题 ‎9．如图，A，B，C，D是空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边△ADB所在的平面以AB为轴可转动．‎ ‎(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长；‎ ‎(2)当△ADB转动过程中，是否总有AB⊥CD？请证明你的结论．‎ ‎10．如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABC，M，N分别是AB，PC的中点．‎ ‎(1)求证：MN⊥AB；‎ ‎(2)若PA＝AD，求证：MN⊥平面PCD.‎ 答 案 ‎1. 解析：选A　∵m⊥γ，mα，lγ，∴α⊥γ，m⊥l；B错，有可能mβ；C 5‎ 错，有可能mβ；D错，有可能α与β相交．‎ ‎2. 解析：选C　逐一判断可知，选项A中的m，n可以相交，也可以异面；选项B中的α与β可以相交；选项D中的m与β的位置关系可以平行、相交、m在β内，故选C.‎ ‎3. 解析：选B　如图所示，连接AE.‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，‎ BD平面ABCD，∴PA⊥BD.‎ 又∵BD⊥PE，PA∩PE＝P，‎ ‎∴BD⊥平面PAE，∴BD⊥AE.∴AE＝＝.‎ 所以在Rt△PAE中，由PA＝1，AE＝，得PE＝.‎ ‎4. 解析：选B　当a，b都平行于l时，a与b平行，假设a与b垂直，如图所示，由于b与l不垂直，在b上任取一点A，过点A作b′⊥l，‎ ‎∵平面α⊥平面β，∴b′⊥平面α，从而b′⊥a，又由假设a⊥b易知a⊥平面β，从而a⊥l，这与已知a不与l垂直矛盾，∴假设不正确，a与b不可能垂直．‎ ‎5. 解析：选D　在图①中，∵∠BAD＝90°，AD＝AB，‎ ‎∴∠ADB＝∠ABD＝45°.‎ ‎∵AD∥BC，∴∠DBC＝45°.又∵∠BCD＝45°，‎ ‎∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD.‎ 在图②中，此关系仍成立．∵平面ABD⊥平面BCD，‎ ‎∴CD⊥平面ABD.‎ ‎∵BA平面ADB，∴CD⊥AB.‎ ‎∵BA⊥AD，∴BA⊥平面ACD.‎ ‎∵BA平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.‎ ‎6. 解析：利用面面垂直的判定，可知①③④⇒②为真；利用面面垂直的性质，可知②③④⇒①为真．‎ 答案：若①③④，则②(或若②③④，则①)‎ ‎7. 解析：如图，连接AD，CD.‎ 5‎ 在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝12，‎ ‎∴AD＝＝‎4 cm.‎ 又∵α⊥β，CA⊥AB，CAα，‎ ‎∴CA⊥β.‎ ‎∴△CAD为直角三角形．‎ ‎∴CD＝＝＝＝13(cm)．‎ 答案：13‎ ‎8. 解析：如图，命题①显然错误．‎ 设α∩β∩γ＝m，过m上任意一点，在γ内作n⊥m，则直线n既不垂直于α，‎ 又不垂直于β.命题②正确．‎ ‎∵α∥β，∴α与β无公共点，‎ ‎∴直线m与直线n也无公共点．‎ 又m∈γ，n∈γ，∴m∥n.‎ 命题③错误．虽然直线m不垂直于α，但m有可能垂直于平面α内的一条直线，于是α内所有平行于这条直线的无数平行线都垂直于m.‎ 命题④正确．由直线与平面平行的判定定理可知 ‎∵n∥m，mα，mβ，nα，nβ，‎ ‎∴必有n∥α，n∥β.∴应填②④.‎ 答案：②④‎ ‎9. 解：(1)设AB中点为O，连接OC、OD，‎ 则OC⊥AB，‎ ‎∵平面ADB⊥平面ABC，平面ADB∩平面ABC＝AB.‎ ‎∴OC⊥面ADB.‎ ‎∵OD平面ADB，∴OC⊥OD.‎ 即∠COD＝90°.‎ 在等边△ADB中，AB＝2，‎ 5‎ ‎∴OD＝.‎ 在△ABC中，AC＝BC＝，AB＝2，‎ ‎∴OC＝1.‎ 在Rt△COD中，CD＝＝2.‎ ‎(2)当△ADB在转动过程中，总有OC⊥AB，OD⊥AB，‎ ‎∴AB⊥平面COD.∴AB⊥CD.‎ 当△ADB转动到与△ABC共面时，仍然有AB⊥CD.‎ 故△ADB转动过程中，总有AB⊥CD.‎ ‎10. 证明：(1)取CD的中点E，连接EM、EN，‎ 则CD⊥EM，且EN∥PD.‎ ‎∵PA⊥平面ABC，CD平面ABC，‎ ‎∴PA⊥CD，又CD⊥AD.‎ ‎∴CD⊥平面PAD.‎ ‎∵PD平面PAD.‎ ‎∴CD⊥PD.∴CD⊥EN.‎ 又CD⊥ME，∴CD⊥平面MNE，‎ ‎∴CD⊥MN.又CD∥AB，∴MN⊥AB.‎ ‎(2)在Rt△PAD中有PA＝AD，‎ 取PD的中点K，连接AK，KN，‎ 则KN DCAM，且AK⊥PD.‎ ‎∴四边形AMNK为平行四边形，从而MN∥AK.‎ 因此MN⊥PD.‎ 由(1)知MN⊥DC.‎ 又PD∩DC＝D，∴MN⊥平面PCD.‎ 5‎