2017_2018学年高中数学课下能力提升（十三）球北师大版必修2.doc

课下能力提升（十三）球 一、选择题 ‎1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为π，则球的体积为(　　)‎ A.π　　　　　　　　　B. C．8π D.π ‎2．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是(　　)‎ A．1∶2∶3 B．1∶∶ C．1∶2∶3 D．1∶4∶7‎ ‎3．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)‎ A.π B．4π C．4π D．6π ‎4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)‎ A．πa2 B.πa2‎ C.πa2 D．5πa2‎ ‎5．(新课标全国卷Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高‎8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为‎6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　)‎ A. cm3 B. cm3‎ C. cm3 D. cm3‎ 二、填空题 ‎6．一个平面截一球得到直径为‎6 cm的圆面，球心到这个平面的距离为‎4 cm，则球的体积为________ cm3.‎ 4‎ ‎7．一个底面直径是‎32 cm的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了‎9 cm，则这个球的表面积是________．‎ ‎8．如图所示，正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为________．‎ 三、解答题 ‎9．如图，ABCD是正方形，是以A为圆心的弧，将正方形ABCD以AB为轴旋转一周，求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比．‎ ‎10．如图，半径为R的半圆O的直径为直角梯形垂直于两底的腰，且半圆O分别切AB，BC，CD于点A、E、D.将半圆与梯形绕AD所在直线旋转一周，得到一个球和一个圆台，若球的表面积与圆台的侧面积的比为3∶4，求圆台的体积．‎ 答 案 ‎1. 解析：选D　所得截面圆的半径为r＝1，因此球的半径R＝＝，球的体积为πR3＝π.‎ ‎2. 解析：选C　∵三个球的表面积之比是1∶2∶3，‎ 即r∶r∶r＝1∶2∶3.∴r1∶r2∶r3＝1∶∶，‎ ‎∴V1∶V2∶V3＝1∶2∶3.‎ ‎3. 解析：选B　设球的半径为R，由球的截面性质得R＝＝，所以球的体积V＝πR3＝4π.‎ ‎4.‎ 4‎ ‎ 解析：选B　正三棱柱内接于球，则球心在正三棱柱两底面中心连线的中点处，在直角三角形中可得R＝＝a，‎ ‎∴S＝4πR2＝4π×＝a2.‎ ‎5. 解析：选A　解题时，先根据已知条件分析出正方体的上底面到球心的距离为(R－2) cm(其中R为球半径)，再利用球半径、球心距、和截面圆半径构成的直角三角形求出球半径，进而计算出球的体积．设球半径为R cm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为‎4 cm，球心到截面的距离为(R－2) cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的体积V＝πR3＝π×53＝ cm3，选择A.‎ ‎6. 解析：如图所示，‎ 由已知：O‎1A＝3，OO1＝4，从而R＝OA＝5.‎ ‎∴V球＝×53＝ (cm3)．‎ 答案： ‎7. 解析：球的体积等于以‎16 cm为底面半径，高为‎9 cm的圆柱的体积，设球的半径为R，所以πR3＝π·162·9，‎ 解得R＝12(cm)，所以S球＝4πR2＝576π cm2.‎ 答案：576π cm2‎ ‎8. 解析：∵正四棱锥的底面边长和侧棱长都为，‎ ‎∴其高为1，由对称性可知，棱长为的正八面体也内接于此球，∴球的半径为1，体积为π.‎ 答案：π ‎9. 解：Ⅰ生成圆锥，Ⅱ生成的是半球去掉圆锥Ⅰ，Ⅲ生成的是圆柱去掉扇形ABD生成的半球．‎ 4‎ 设正方形的边长为a，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积分别为VⅠ、VⅡ和VⅢ，则VⅠ＝πa3，VⅡ＝πa3÷2－πa3＝πa3，VⅢ＝πa3－πa3÷2＝πa3.‎ 三部分所得旋转体的体积之比为1∶1∶1.‎ ‎10. 解：设圆台的上、下底的半径分别为r1、r2，母线长为l.‎ 由题意知，圆台的高h＝2R，DC＝CE＝r1，AB＝BE＝r2，OE＝R，∠BOC＝90°.OE⊥BC.‎ ‎∵在Rt△COB中，CE·BE＝OE2，BC＝CE＋BE，‎ ‎∴r1r2＝R2，l＝r1＋r2.‎ 又∵S球＝4πR2，S圆台侧＝π(r1＋r2)l 且S球∶S圆台侧＝3∶4，‎ ‎∴4πR2∶πl(r1＋r2)＝3∶4.‎ ‎∴(r1＋r2)2＝R2，‎ ‎∴V台＝πh(r＋r＋r1r2)＝×2R[(r1＋r2)2－r1r2]‎ ‎＝×2R×＝πR3.‎ 故圆台的体积为πR3.‎ 4‎