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2019年安庆市高三模拟考试（二模）
数学试题（理）
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题.每小题5分。满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i为虚数单位，复数z满足，则下列关于复数z说法确的是
A. B. C. D.
2.命题“”的否定是
A.
B.
C.
D.
3.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是
A.171
B.342
C.683
D.341
4.设，且，则
A. B. C. D.
5.己知实数满足约束条件,则目标函数的最小值为
A. B. C. 2 D. 4
6.某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是
A. 27 B.24 C.18 D. 12
7.己知函数的部分图象如图所示，其中点A坐标为,点B的坐标为，点C的坐标为(3,-1)，则的递增区间为
A. B.
C. D.
8.已知正数，满足，则下列结论不可能成立的是
A. B. C. D.
9.设双曲线 (a>b>0)的左、右两焦点分别为F1、F2，P是双曲线上一点，点P到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半，且 ，则双曲线的离心率是
A. B. C. D.
10. 若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a，b，C，已知，且,则等于
A. B. C. D.
11.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目
各不相同”，事件b为“只有甲同学一人报关怀老人项目，则的值为
A. B. C. D.
12.若函数且)的定义域与值域都是[m, n] ( mb>0)的离心率为，且过点（2，）.
(I)求椭圆C的标准方程；
(II)设A、B为椭圆C的左，右顶点，过C的右焦点F作直线交椭圆于M, N两点，分别记△ABM、△ABN的面积为S1，S2,求|S1-S2|的最大值。
21.(本小题满分12分）
已知函数.
(1)讨论的单调性.
(II)若有两个相异的正实数根，求证0.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一題记分。作答时请写清题号。
22.(本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，射线的参数方程为为参数），以原点O为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。圆C的方程为 , 被圆C截得的弦长为。
(I)求实数m的值；
(II)设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为(m，),且m>0,求的值。
23.(本小题满分10分）选修4-5不等式选讲
已知.
(I )若>,求实数的取值范围；
(II) (m>0, n>0 )对任意的 都成立，求证：。
2019年安庆市高三模拟考试（二模）
数学试题（理科）答案
一、 选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
C
D
D
B
A
B
A
D
C
D
1. 解析：由条件知， A错；，B错；，C正确；，D错误. 故选C.
2. 解析：根据全称命题的否定是特称命题，只有B正确. 故选B.
3. 解析：根据程序框图可知：
；
；，. 故选C.
4. 解析：由，可得，
，即.
又，，则，.
故 即. 故选D .
5. 解析：作出可行域，可知当，时，目标函数取到最小值，最小值为. 故选D.
6. 解析：该几何体是一个长方体，其长、宽、高分别为，，，其体积为. 故选B.
7. 解析：由、的坐标可知，函数的图象有对称轴，，故，
可得函数的一个单调递增区间为，则的递增区间为，. 故选A.
8. 解析：设，则，，，故时，；时，；时，. 故选B.
9. 解析：不妨设点在双曲线的右支上，则.因为，所以，.由点到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半可知，，所以，即，得.
所以双曲线的离心率.故选A.
10. 解析：由，得，得．
又，由余弦定理得，
得. 故选D．
11.解析：，，.故选C．
12. 解析：函数的定义域与值域相同等价于方程有两个不同的实数解. 因为，所以问题等价于直线与函数的图象有两个交点. 作函数的图象，如图所示. 根据图象可知，当时，即时，直线与函数的图象有两个交点.选D.
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：
题号
13
14
15
16
答案
13.解析：由已知得，于是，，.
14. 解析：展开式的通项公式为. 由，得，所以一次项的系数为. 由，得.
15. 解析：是上周期为5的奇函数，．
16. 解析：由作法可知，弧（Ⅰ）为抛物线弧，则实线围成的区域面积为.
三、解答题：
17. 解析：（Ⅰ）由① ，得（，）②.
①- ②，得，即（，）.
………………3分
由，，得，
所以（），所以数列是首项和公比都为的等比数列，
因此，.
……………… 6分
（Ⅱ）由，得，
……………… 7分
所以，
………………9分
所以
.
……………… 12分
18.解析：（Ⅰ）在图1中，因为，
所以在图2中有，，
……………2分
又因，所以平面，
……………4分
因平面，故.
………………5分
（Ⅱ）因为，，，所以平面.
又，以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图1所示的空间直角坐标系，
设，，
则，.
……………6分
设平面的法向量为，
由.
取，即，……………8分
取平面的法向量为，
……………9分
，即.
……………10分
设直线与平面所成角为，.
所以直线与平面所成角的正弦值为.……………… 12分
注：（Ⅱ）另解
根据题设可将四棱锥补成直四棱柱，且平面与平面所成二面角的平面角为，如图2所示.
设，则，由，得.
作，为垂足，易知平面. 连接，则就是直线与平面所成角..
19. 解析:（Ⅰ）抽取的一件药品的主要药理成分含量在之内的概率为0．9974，
………………1分
从而主要药理成分含量在之外的概率为0．0026，………………2分
故．………………4分
因此，
………………5分
的数学期望为．
………………6分
（Ⅱ）（1）由，，得的估计值为，的估计值为，
………………7分
由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分(9.22)含量在之外，因此需对本次的生产过程进行检查．
………………8分
（2）设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件，则；
…………………10分
如果在一天中，需停止生产并对原材料进行检测，则在一天的四次检测中，有连续两次出现了主要药理成分含量在之外的药品，故概率为.
故确定一天中需对原材料进行检测的概率为.
…………………12分
20. 解析：（Ⅰ）根据题意可得
解得，.
故椭圆的标准方程为.
……………… 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当直线的斜率不存在时，，于是；
………………6分
理科数学答案（共10页）第6页
当直线的斜率存在时，设直线，设，，
联立得，
根据韦达定理得，
………………8分
于是
………………10分
.
当且仅当时等号成立，此时的最大值为.
综上，的最大值为.
………………12分
21. 解析：（Ⅰ）的定义域为
所以.
……………… 2分
① 当时，，所以在上为减函数；
② 当时，，所以在上为减函数，在上为增函数.
……………… 5分
（Ⅱ）法1：要证，即证，即
………………6分
理科数学答案（共10页）第7页
由得，所以只要证.
………………7分
不妨设，则只要证.
………………8分
令，则只要证明当时，成立.
………………10分
设，，则，
所以函数 在上单调递减，所以，即成立.
………………11分
由上分析可知，成立.
……………… 12分
法2：要证，即证，即.
………………6分
令，，下证.
………………7分
由.得，即.
令，，.
由，所以在上为减函数，在上为增函数.
………………8分
设，.
理科数学答案（共10页）第8页
令.
……………… 10分
，，.
所以在上为减函数，，
即，.
……………… 11分
又因为在上为增函数，所以，即.
故，得证.
……………… 12分
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号
22．解析：（Ⅰ）由得，即.
………………2分
直线的普通方程为，被圆截得的弦长为，所以圆心到的距离为，即，解得.
……………… 5分
（Ⅱ）法1：当时，将的参数方程代入圆C的直角坐标方程得，
，即.
由于，故可设是上述方程的两实根，所以
又直线过点，故由上式及的几何意义，
得 ==.
………………10分
法2：当时点，易知点在直线上. 又，
所以点在圆外.
联立消去得，.
不妨设、，所以=.
23.解析：（Ⅰ），即.
① 当时，，得；
② 当时，，得，不成立；
③ 当时，，得.
综上，所求的的取值范围是.
………………5分
（Ⅱ）因为，
所以.
………………8分
因为，时，，所以，得，
所以.
………………10分
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