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吉林省实验中学2017-2018学年度上学期
高三年级第四次月考数学（理科）试题
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合M＝{x|x＞x2}，N＝{y|y＝，x∈M}，则M∩N＝( )
A．{x|0＜x＜} B．{x|1＜x＜2} C．{x|0＜x＜1} D．{x|＜x＜1}
2. “(m－1)(a－1)>0”是“logam>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3. 执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
4. 已知一个四棱锥的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
（第3题） （第4题）
5. 已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
6. 已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为( )
A．5 B．4 C. D．2
7. 已知f(x)是定义在R上的函数，对任意x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋2f(2)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，且f(1)＝2，则f(2019)等于( )
A．2 B．3 C．－2 D．－3
8. 将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，，有，则（ ）
A. B. C. D.
9. 已知数列为等比数列，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10. 在中,角所对的边分别为，若 ，则当角 取得最大值时， 的周长为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且错误！未找到引用源。则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数，如果存在实数，其中，使得
，则的取值范围是（ ）[来源:Zxxk.Com]
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）
13. 已知定义在R上的函数f(x)＝关于x的方程f(x)＝c(c为常数)恰有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________.
14. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，记数列{an}的前n项和为Sn,则S100＝ ．
15. 已知三棱锥P－ABC的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA，PB，PC两两互相垂直，则三棱锥P－ABC的侧面积的最大值为________。
16. 在 且错误！未找到引用源。，函数的最小值为，则的最小值为______ .
三、解答题：（本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分；第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分）
17.（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB.
(1)求cosB的值.
(2)若错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=2，且b=2错误！未找到引用源。，求a和c的值.
18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为等边三角形，，为的中点．
（1）求；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．
19.（本小题满分12分）
已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an。
(1)求Sn的表达式；
错误！未找到引用源。.[来源:学§科§网]
错误！未找到引用源。.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆： 的长轴长为，且椭圆与圆： 的公共弦长为.
（1）求椭圆的方程.
（2）经过原点作直线（不与坐标轴重合）交椭圆于， 两点， 轴于点，点在椭圆上，且，求证： ， ， 三点共线..
21.（本小题满分12分）
函数， .
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若对， 恒成立，求整数的最大值.
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分.
22．（本小题满分10分）选修4-45：参数方程极坐标选讲
以平面直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位, 直线的参数方程为,圆的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；
（2）设曲线与直线交于两点, 若点的直角坐标为,求的值.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）解不等式；
（2）若对于任意，都有，使得成立，求实数的取值范围.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10[来源:Zxxk.Com]
11
12
D
B
B
C
C
B
A
D
C
C
C
A
13.【答案】0 14. 【答案】错误！未找到引用源。 15.【答案】：18 16.【答案】：错误！未找到引用源。
17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB.
(1)求cosB的值.
(2)若错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=2，且b=2错误！未找到引用源。，求a和c的值.
由b2=a2+c2-2accosB，可得a2+c2=12，
所以(a-c)2=0，即a=c，所以a=c=错误！未找到引用源。.
18．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an。
(1)求Sn的表达式；
(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn。
①式两边同除以Sn－1·Sn，得－＝2，
∴数列是首项为＝＝1，公差为2的等差数列。
∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，
∴Sn＝。
19.如图，在四棱锥中，底面为等边三角形，，为的中点．
（1）求；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．
【答案】(1) AB＝1；(Ⅱ) .
【解析】
试题解析：（1）连接AC, 因为PA⊥底面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BC，又因为PB⊥BC，，所以BC⊥底面PAB，因为平面PAB，所以AB⊥BC，因为△BCD为等边三角形，所以∠ABD＝30°．又已知AB＝AD，BD＝，可得AB＝1．
（Ⅱ）分别以BC，BA所在直线为x，y轴，过B且平行PA的直线为z轴建立空间直角坐标系．P(0，1，)，C(，0，0)，E(，，)，D(，，0)．由题意可知平面PAB的法向量为m＝(1，0，0)．
设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，则即则n＝(3，－，－2)．
cosám，nñ＝＝．所以平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值．
20.已知椭圆： 的长轴长为，且椭圆与圆： 的公共弦长为.
（1）求椭圆的方程.
（2）经过原点作直线（不与坐标轴重合）交椭圆于， 两点， 轴于点，点在椭圆上，且，求证： ， ， 三点共线..
【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于 、 、的方程组，结合性质 ， ，求出 、 、，即可得结果；（2）设， ，则， .
因为点， 都在椭圆上，所以，利用“点差法”证明 ，即可得结论.
试题解析：（1）由题意得，则.
由椭圆与圆： 的公共弦长为，其长度等于圆的直径，
可得椭圆经过点，所以，解得.所以椭圆的方程为.
（2）证明：设， ，则， .
因为点， 都在椭圆上，所以所以 ，
即.又 ，
所以，即，所以所以
又 ，所以，所以， ， 三点共线.
21.函数， .
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若对， 恒成立，求整数的最大值.
【解析】试题分析：（1）求出，从而可得， ，利用点斜式可得结果；（2）对， 恒成立等价于对恒成立，利用导数研究函数的单调性，结合为正数这一条件可得结果.
试题解析：(1)由得，
当时， ， ， ，求得切线方程为.
(2)若对， 恒成立等价于对恒成立，
设函数，则，
再设函数，则.∵， ，即在上为增函数，[来源:学科网ZXXK]
又， ，所以存在，使得，
∴当时， ，即，故在上递减；
当时， ，即，故在上递增.
∴的最小值为.
由得.所以，
所以，又，故整数的最大值为3.
22.以平面直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系,两种坐标系
中取相同的长度单位, 直线的参数方程为,圆的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；
（2）设曲线与直线交于两点, 若点的直角坐标为,求的值.
（1）直线的普通方程为：，C的直角坐标方程为；（2）．[来源:Zxxk.Com]
【解析】
试题分析：（1）消去参数可得直线的普通方程，由公式可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）直线的参数方程是过点的标准参数方程，因此把直线参数方程代入圆的直角坐标方程，方程的解，则，由韦达定理可得．
试题解析：（1）直线的普通方程为：，
，所以．
所以曲线C的直角坐标方程为（或写成）．.
（2）点P（2，1）在直线上，且在圆C内，把代入,得,设两个实根为,则，即异号.
所以.
考点：参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的应
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）解不等式；
（2）若对于任意，都有，使得成立，求实数的取值范围.
（1）（2）或.
【解析】试题分析：（1）根据绝对值几何意义得，再根据绝对值定义得,即得不等式解集，（2）原命题等价于，利用绝对值三角不等式求值域： 而，所以，再根据绝对值定义求不等式解集得实数的取值范围.
试题解析：（1）由，得，
得解集为.
（2）因为任意，都有，使得成立，所以，
又，
所以，解得或，所以实数的取值范围为或.
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