2019年辽宁省沈阳市铁西区中考数学一模试卷
一、选择题
1．计算：（﹣5）+3的结果是（ ）
A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8
2．把多项式m2﹣9m分解因式，结果正确的是（ ）
A．m（m﹣9） B．（m+3）（m﹣3）
C．m（m+3）（m﹣3） D．（m﹣3）2
3．在下面几何体中，其俯视图是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．2016年国庆节期间，沈阳共接待游客约657.9万人次，657.9万用科学记数法表示为（ ）
A．0.6579×103 B．6.579×102 C．6.579×106 D．65.79×105
5．某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是（ ）
次数
2
3
4
5
人数
2
2
10
6
A．3次 B．3.5次 C．4次 D．4.5次
6．在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，∠AOB＝60°，OA＝8．点A的坐标是（ ）
A．（4，8） B．（4，4） C．（4，4） D．（8，4）
7．如图，正五边形ABCDE的对角线BD.CE相交于点F，则下列结论正确的是（ ）
A．∠BCE＝36° B．△BCF是直角三角形
C．△BCD≌△CDE D．AB⊥BD
8．分式方程＝的解是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝3
9．已知点A（﹣2，y1）、B（﹣4，y2）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1.y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a+c＞b；②4ac＜b2；③2a+b＞0．其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②
二、填空题
11．计算：2a3÷a＝_________．
12．学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数（单位：分）及方差s2如表所示：
甲
乙
丙
丁
7
8
8
7
s2
1
1.2
1
1.8
如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是__________．
13．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________．
14．如图，AB∥CD，点E是线段CD上的一点，BE交AD于点F，EF＝BF，CD＝10，AB＝8，CE＝
____．
15．不等式组的所有整数解的和是__________-．
16．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A.C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（﹣2，﹣3），直线y＝x﹣1与OC.AB分别交于点D.E，点P在矩形的边AB或BC上，作PF⊥ED于点F，连接PD，当△PFD是等腰三角形时，点P的坐标为_________．
三、（6分、8分、8分）
17．已知x，y满足方程组，求代数式（x﹣y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）的值．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB.AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连接DN、MN．若AB＝6．
（1）求证：MN＝CD；
（2）求DN的长．
19．甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有2个分别标有数字1，2的小球，乙口袋中装有3个分别标有数字3，4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，
（1）随机从乙口袋中摸出一个小球，上面数字是奇数的概率为__________
（2）现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．请用列表或树状图的方法，求出两个数字之和能被5整除的概率．
四、（8分、8分）
20．某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费．为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如下不完整的统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点）．
请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次抽样调查的总户数是_____户；扇形图中“10吨﹣15吨”部分的圆心角的度数是_____度；
（2）求“15吨﹣20吨”部分的户数，并补全频数分布直方图；
（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区120万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？
21．某水果批发商计划用8辆汽车装运甲、乙两种水果共22吨（每种水果不少于一车）到外地销售，每辆汽车载满时能装甲种水果2吨或乙种水果3吨，每辆汽车规定满载，并且只能装一种水果，求装运甲、乙两种水果的汽车各多少辆？
五、（10分、10分、12分、12分）
22．如图，以▱ABCD的边AB为直径作⊙O，边CD与⊙O相切于点E，边AD与⊙O相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°
（1）求弧EF的长；
（2）线段CE的长为_______．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴交于点B，与直线CD交于点A（﹣，a），点D的坐标为（0，），点C在x轴上
（1）求a的值；
（2）求直线CD的解析式；
（3）若点E是直线CD上一动点（不与点C重合），当△CBE∽△COD时，求点E的坐标．
24．△ABC中，∠ACB＜90°，以AB为一边作等边△ABD，且点D与点C在直线AB同侧，平面内有一点E与点D分别在直线AB两侧，且BE＝BC，∠ABE＝∠DBC，连接CD.AE，AC＝5，BC＝3．
（1）求证：CD＝AE；
（2）点E关于直线AB的对称点为点F，判断△BFC的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当线段CD最短时，请直接写出四边形AEBF的面积．
25．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣1，0）和点B（2，﹣1），交y轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接AB.AC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是抛物线上在直线AB下方的动点，直线PH⊥x轴，交AB于点H，当PH＝时，求点P的坐标；
（3）将△AOC沿y轴向上平移，将△ABD沿x轴向左平移，两个三角形同时开始平移，且平移的速度相同．设△AOC平移的距离为t，平移过程中两个三角形重叠部分的面积为S，当0＜t＜时，请直接写出S与t的函数表达式及自变量t的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．计算：（﹣5）+3的结果是（ ）
A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8
【分析】根据有理数的加法法则，求出（﹣5）+3的结果是多少即可．
【解答】解：（﹣5）+3的结果是﹣2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数的加法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确有理数的加法法则．
2．把多项式m2﹣9m分解因式，结果正确的是（ ）
A．m（m﹣9） B．（m+3）（m﹣3）
C．m（m+3）（m﹣3） D．（m﹣3）2
【分析】直接找出公因式m，提取分解因式即可．
【解答】解：m2﹣9m＝m（m﹣9）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
3．在下面几何体中，其俯视图是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：A.圆柱的俯视图是圆，故A不符合题意；
B.圆锥的俯视图是圆，故B不符合题意；
C.正方体的俯视图是正方形，故C不符合题意；
D.三棱柱的俯视图是三角形，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．
4．2016年国庆节期间，沈阳共接待游客约657.9万人次，657.9万用科学记数法表示为（ ）
A．0.6579×103 B．6.579×102 C．6.579×106 D．65.79×105
【分析】利用科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：657.9万用科学记数法表示为：6.579×106．
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是（ ）
次数
2
3
4
5
人数
2
2
10
6
A．3次 B．3.5次 C．4次 D．4.5次
【分析】加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则（x1w1+x2w2+…+xnwn）÷（w1+w2+…+wn）叫做这n个数的加权平均数，依此列式计算即可求解．
【解答】解：（2×2+3×2+4×10+5×6）÷20
＝（4+6+40+30）÷20
＝80÷20
＝4（次）．
答：这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是4次．
【点评】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求2，3，4，5这四个数的平均数，对平均数的理解不正确．
6．在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，∠AOB＝60°，OA＝8．点A的坐标是（ ）
A．（4，8） B．（4，4） C．（4，4） D．（8，4）
【分析】根据直角三角形的性质得出点A的横坐标为4，再用勾股定理得出点A的纵坐标为4，从而得出答案．
【解答】解：∵点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，∠AOB＝60°，OA＝8，
∴点A的横坐标为4，
由勾股定理得点A的纵坐标为＝4，
点A坐标（4，4），
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图象的特征，掌握直角三角形的性质以及勾股定理是解题的关键．
7．如图，正五边形ABCDE的对角线BD.CE相交于点F，则下列结论正确的是（ ）
A．∠BCE＝36° B．△BCF是直角三角形
C．△BCD≌△CDE D．AB⊥BD
【分析】在正五边形ABCDE中，易知BC＝CD＝DE，∠BCD＝∠CDE＝108°，由此可证△BCD≌△CDE解决问题．
【解答】解：在正五边形ABCDE中，易知BC＝CD＝DE，∠BCD＝∠CDE＝108°，
在△BCD和△CDE中，
，
∴△BCD≌△CDE，
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、正五边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住正五边形的有关性质，属于中考常考题型．
8．分式方程＝的解是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x＝3x﹣6，
解得：x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解，
故选：D．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
9．已知点A（﹣2，y1）、B（﹣4，y2）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1.y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定
【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．
【解答】解：∵点A（﹣2，y1）、B（﹣4，y2）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，
∴每个象限内，y随x的增大而增大，
∵﹣2＞﹣4
∴y1＞y2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确把握反比例函数的性质是解题关键．
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a+c＞b；②4ac＜b2；③2a+b＞0．其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②
【分析】分别根据x＝﹣1时y＜0和抛物线与x轴的交点、抛物线的对称轴在x＝1右侧列式即可得．
【解答】解：由图象知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0．即a+c＜b，故①错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，故②正确；
∵抛物线的对称轴x＝﹣＞1，且a＜0，
∴﹣b＜2a，即2a+b＞0，故③正确；
故选：C．
【点评】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．
二、填空题
11．计算：2a3÷a＝ 2a2 ．
【分析】根据同底数幂的除法法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝2a2，
故答案为：2a2，
【点评】本题考查整式的除法，解题的关键是正确理解整式除法的法则，本题属于基础题型．
12．学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数（单位：分）及方差s2如表所示：
甲
乙
丙
丁
7
8
8
7
s2
1
1.2
1
1.8
如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是 丙组 ．
【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛．
【解答】解：∵乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，
∴应从乙和丙组中选，
∵丙组的方差比乙组的小，
∴丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组；
故答案为：丙组．
【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
13．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 m＜4 ．
【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣4）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4m＞0，
解得：m＜4．
故答案为：m＜4．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
14．如图，AB∥CD，点E是线段CD上的一点，BE交AD于点F，EF＝BF，CD＝10，AB＝8，CE＝ 2 ．
【分析】首先证明△ABF≌△DEF，利用全等三角形的性质可得DE＝AB，易得CE的长．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠FED，
在△ABF和△DEF中，
，
∴△ABF≌△DEF，
∴AB＝DE＝8．
∵CD＝10，
∴CE＝CD﹣DE＝10﹣8＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判断和性质，熟练掌握平行线的性质，属于基础题，中考常考题型．
15．不等式组的所有整数解的和是 ﹣1 ．
【分析】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解，最后求出答案即可．
【解答】解：
∵解不等式①得；x＞﹣2，
解不等式②得；x≤，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤，
∴不等式组的整数解为﹣1，0，
﹣1+0＝﹣1，
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出不等式组的解集，难度适中．
16．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A.C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（﹣2，﹣3），直线y＝x﹣1与OC.AB分别交于点D.E，点P在矩形的边AB或BC上，作PF⊥ED于点F，连接PD，当△PFD是等腰三角形时，点P的坐标为 （﹣，﹣3）或（﹣2，﹣） ．
【分析】由于点P的位置不确定，所以需要分情况讨论，一是点P在AB边上，二是点P在BC边上，然后根据等腰三角形的性质即可求出P的坐标．
【解答】解：当P在AB上时，
设直线ED与x轴交于点G，
设PF＝DF＝x，
令y＝0和x＝﹣2代入y＝x﹣1
∴x＝2和y＝﹣2
∴G（2，0），E（﹣2，﹣2），
∴AG＝4，AE＝2，
∴tan∠PEF＝＝，
∴EF＝，
∴ED＝x+＝，
令x＝0代入y＝x﹣1，
∴D（0，﹣1）
∴ED＝＝
∴＝，
∴x＝
∴由勾股定理可知：PE＝＝，
∴AP＝AE﹣PE＝2﹣＝
此时P的坐标为（﹣2，﹣）
当点P在BC边上时，
过点D作P′D⊥PD，垂足为D，
过点P作PH⊥y轴，垂足为H，
易证：△PDH∽△P′DC
∴
∵PH＝2，DH＝OD﹣OH＝1﹣＝
CD＝OC﹣OD＝3﹣1＝2
∴
∴P′C＝，
∴P′的坐标为（﹣，﹣3）
故答案为：（﹣，﹣3）或（﹣2，﹣）
【点评】本题考查等腰三角形的性质，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用知识．
三、（6分、8分、8分）
17．已知x，y满足方程组，求代数式（x﹣y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）的值．
【分析】先求出方程组的解，再算乘法，合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：解方程组得：，
所以（x﹣y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）
＝x2﹣2xy+y2﹣x2+4y2
＝﹣2xy+5y2
＝﹣2×3×（﹣1）+5×（﹣1）2
＝11．
【点评】本题考查了解二元一次方程组、整式的混合运算和求值等知识点，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB.AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连接DN、MN．若AB＝6．
（1）求证：MN＝CD；
（2）求DN的长．
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到MN＝BC，根据题意证明；
（2）根据平行四边形的判定定理得到四边形MCDN是平行四边形，得到DN＝CM，直角三角形的性质计算即可．
【解答】（1）证明：∵M、N分别是AB.AC的中点，
∴MN＝BC，MN∥BC，
∵CD＝BD，
∴CD＝BC，
∴MN＝CD；
（2）解：连接CM，
∵MN∥CD，MN＝CD，
∴四边形MCDN是平行四边形，
∴DN＝CM，
∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，
∴CM＝AB，
∴DN＝AB＝3．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理的应用、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
19．甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有2个分别标有数字1，2的小球，乙口袋中装有3个分别标有数字3，4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，
（1）随机从乙口袋中摸出一个小球，上面数字是奇数的概率为
（2）现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．请用列表或树状图的方法，求出两个数字之和能被5整除的概率．
【分析】（1）用数字为奇数的球的个数除以球的总个数即可得；
（2）画树状图列出所有情况，依据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）乙口袋中共有3个小球，其中数字为奇数的有2个，
∴上面数字是奇数的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
∴两个数字之和能被5整除的概率为＝．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
四、（8分、8分）
20．某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费．为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如下不完整的统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点）．
请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次抽样调查的总户数是 100 户；扇形图中“10吨﹣15吨”部分的圆心角的度数是 36 度；
（2）求“15吨﹣20吨”部分的户数，并补全频数分布直方图；
（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区120万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？
【分析】（1）根据统计图可知“10吨～15吨”的用户10户占10%，从而可以求得此次调查抽取的户数，进而求得扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数；
（2）根据（1）中求得的用户数与条形统计图可以得到“15吨～20吨”的用户数；
（3）根据前面统计图的信息可以得到该地区120万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格．
【解答】解：（1）此次抽样调查的总户数是10÷10%＝100（户），
扇形图中“10吨﹣15吨”部分的圆心角的度数是360°×10%＝36°，
故答案为：100，36；
（2）“15吨﹣20吨”部分的户数为100﹣（10+38+24+8）＝20（户），
补全图形如下：
（3）120×＝81.6（万户），
答：该地区120万用户中约有81.6万用户的用水全部享受基本价格．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
21．某水果批发商计划用8辆汽车装运甲、乙两种水果共22吨（每种水果不少于一车）到外地销售，每辆汽车载满时能装甲种水果2吨或乙种水果3吨，每辆汽车规定满载，并且只能装一种水果，求装运甲、乙两种水果的汽车各多少辆？
【分析】设装运甲种水果的汽车有x辆，装运乙种水果的汽车有y辆，根据8辆汽车装运甲、乙两种水果共22吨，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设装运甲种水果的汽车有x辆，装运乙种水果的汽车有y辆，
依题意，得：，
解得：．
答：装运甲种水果的汽车有2辆，装运乙种水果的汽车有6辆．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
五、（10分、10分、12分、12分）
22．如图，以▱ABCD的边AB为直径作⊙O，边CD与⊙O相切于点E，边AD与⊙O相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°
（1）求弧EF的长；
（2）线段CE的长为 2+6 ．
【分析】（1）首先证明△AOF是等边三角形．求出扇形的圆心角∠EOF即可解决问题．
（2）作BM⊥CD于M．易证四边形OEMB是正方形，OE＝EM＝BM＝OB＝6，在Rt△CBM中，求出CM即可．
【解答】解：（1）如图，连接OF、OE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝60°，CD∥AB，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∵CD是⊙O切线，
∴OE⊥CD，∵CD∥AB，
∴OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∴∠EOF＝30°，
∴的长为＝π．
（2）作BM⊥CD于M．易证四边形OEMB是正方形，OE＝EM＝BM＝OB＝6，
在Rt△CBM中，∵∠C＝60°，BM＝6，
∴tan60°＝，
∴＝，
∴CM＝2，
∴CE＝CM+EM＝2+6，
故答案为2+6．
【点评】本题考查切线的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、扇形的面积公式、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用知识解决问题，属于中考常考题型．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴交于点B，与直线CD交于点A（﹣，a），点D的坐标为（0，），点C在x轴上
（1）求a的值；
（2）求直线CD的解析式；
（3）若点E是直线CD上一动点（不与点C重合），当△CBE∽△COD时，求点E的坐标．
【分析】（1）将点A的横坐标代入直线y＝x+3中即可求出a；
（2）用待定系数法直接求出直线CD的解析式；
（3）先由两三角形相似即可得出∠CBE＝90°，进而得出点E的横坐标，再代入直线CD的解析式中，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A（﹣，a）在直线y＝x+3上，
∴﹣+3＝a，
∴a＝，
（2）∵D（0，），
∴设直线CD的解析式为y＝kx+（k≠0），
由（1）知，a＝，
∴A（﹣，），
∵点A在直线CD上，
∴＝﹣k+，
∴k＝﹣，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+；
（3）∵点B是直线y＝x+3与x轴的交点，
∴B（﹣3，0），
∵△CBE∽△COD，
∴∠CBE＝∠COD＝90°，
∴点E的横坐标为﹣3，
当x＝﹣3时，y＝﹣×（﹣3）+＝，
∴E（﹣3，）．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求直线解析式，相似三角形的性质，解本题的关键是求出直线CD的解析式，是一道比较简单的题目．
24．△ABC中，∠ACB＜90°，以AB为一边作等边△ABD，且点D与点C在直线AB同侧，平面内有一点E与点D分别在直线AB两侧，且BE＝BC，∠ABE＝∠DBC，连接CD.AE，AC＝5，BC＝3．
（1）求证：CD＝AE；
（2）点E关于直线AB的对称点为点F，判断△BFC的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当线段CD最短时，请直接写出四边形AEBF的面积．
【分析】（1）根据SAS判定△ABE≌△DBC，即可得出CD＝AE；
（2）根据轴对称的性质以及全等三角形的性质，即可得出BF＝BC，∠CBF＝60°，进而判定△BCF是等边三角形；
（3）根据AF+FC≥AC，即可得到AF+3≥5，即AF≥2，因而得到AF的最小值为2，即CD的最小值为2，此时AF+FC＝AC，即点F在AC上，再过B作BG⊥AC于G，则Rt△BFG中，∠FBG＝30°，求得△ABF的面积，即可得到四边形AEBF的面积．
【解答】解：（1）如图，∵△ABD是等边三角形，
∴AB＝DB，
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴CD＝AE；
（2）△BFC是等边三角形，
理由：如图，∵点E关于直线AB的对称点为点F，
∴AB垂直平分EF，
∴BF＝BE，∠ABE＝∠ABF，
又∵BC＝BE，∠ABE＝∠DBC，
∴BF＝BC，∠ABF＝DBC，
∵∠ABD＝∠ABF+∠DBF＝60°，
∴∠DBC+∠DBF＝60°，
即∠CBF＝60°，
∴△BCF是等边三角形；
（3）∵点E关于直线AB的对称点为点F，△ABE≌△DBC，
∴AF＝AE，AE＝DC，
∴AF＝CD，
由（2）可得，等边三角形BCF中，FC＝BC＝3，
∵AF+FC≥AC，
∴AF+3≥5，即AF≥2，
∴AF的最小值为2，即CD的最小值为2，
此时AF+FC＝AC，即点F在AC上，
如图所示，过B作BG⊥AC于G，则Rt△BFG中，∠FBG＝30°，
∴FG＝BF＝，
∴BG＝FG＝，
∴△ABF的面积＝AF×BG＝×2×＝，
∴四边形AEBF的面积＝2×△ABF的面积＝3．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质以及含30°角的直角三角形的性质综合应用，解决问题的关键是画出图形，根据两点之间，线段最短，得到AF的最小值为2，即CD的最小值为2．
25．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣1，0）和点B（2，﹣1），交y轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接AB.AC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是抛物线上在直线AB下方的动点，直线PH⊥x轴，交AB于点H，当PH＝时，求点P的坐标；
（3）将△AOC沿y轴向上平移，将△ABD沿x轴向左平移，两个三角形同时开始平移，且平移的速度相同．设△AOC平移的距离为t，平移过程中两个三角形重叠部分的面积为S，当0＜t＜时，请直接写出S与t的函数表达式及自变量t的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图1中，设P（m， m2﹣m﹣3），求出BC的解析式为，可得点H的坐标，求出PH（用t表示），列出方程即可解决问题；
（3）首先说明重叠部分是四边形EOFH，构建一次函数求出点H坐标，根据S＝S△EOH+S△OFH计算即可解决问题；
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）和点B（2，﹣1）代入y＝ax2+bx﹣3
得到，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3．
（2）如图1中，设P（m， m2﹣m﹣3），
∵A（﹣1，0），B（2，﹣1），
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣，
∵直线PH⊥x轴，交AB于点H，
∴H（m，﹣ m﹣），
∴PH＝﹣m﹣﹣（m2﹣m﹣3）＝，
解得m＝或﹣，
∴P（，﹣）或（﹣，﹣）．
（3）如图2中，
设A2C1交A1B1于H，交x轴于E，A1B1交y轴于F，连接OH．
∵OF∥B1D1，
∴＝，
∴＝
∴OF＝，
当OF＝OC1时，＝3﹣t，t＝2，
∴当0＜t＜2时，重叠部分是四边形EOFH．
易知A1（﹣1﹣t，0），B1（2﹣t，﹣1），A2（﹣1，t），C1（0，﹣3+t），
∴直线A1B1的解析式为y＝﹣x﹣，直线A2C1的解析式为y＝﹣3x﹣3+t，
由解得，
∴H（．﹣），
∴S＝S△EOH+S△OFH＝••t+（1+t）•＝﹣t2+t+．（0＜t＜2）．
当2≤t＜时，重叠部分是三角形．S＝•（3﹣t）•3（3﹣t）＝t2﹣12t+．
【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、一元二次方程、一次函数的应用、四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，学会利用一次函数确定两直线的交点坐标，学会利用分割法求 四边形的面积，属于中考压轴题．
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