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宁夏长庆高级中学2018届高三年级第四次月考
数 学 试 卷(理)
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
2.设i为虚数单位,复数(2﹣i)z=1+i,则z的共轭复数在复平面中对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.在空间直角坐标系Oxyz中,平面OAB的一个法向量为=(2,-2,1),
已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于( )
A.4 B.3 C.2 D.1
4.已知函数,若,则( )
A.-3 B.-1 C.0 D.3
5.已知,,=(7,5,λ),若,,
三个向量共面,则实数λ等于( ).
A. B. C. D.
6.下列命题中, 正确的命题有几个 ( )
①命题“存在,”的否定是“对于任意的,”;
②若函数在(2016, 2017)上有零点,则;
③在公差为的等差数列 中,成等比数列,则公差为;
④函数在上的单调递增区间为;
A.0 B.1 C.2 D.3
7.函数(为自然对数的底数)的图像可能是( )
8. 已知函数,且,则以下结论正确的是( )
A.c>a>b B.a>c>b C.a>b>c D.b>a>c
9.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,其中左视图是一个边长为2的正三角形,则这个几何体的体积是( )
A.2cm3 B. cm3 C.3cm3 D.3cm3
10.函数是偶函数的充要条件是( )
A., B.,
C., D.,
11. 若函数f(x)=x2+x﹣lnx+1在其定义域的一个子区间(2k﹣1,k+2)内不
是单调函数,则实数k的取值范围是( )
A.(﹣,) B.[,3) C.[,) D.(﹣,3)
12.定义在上的函数,恒有成立,且,对任意的,则成立的充要条件是( )
A. B. C. D.
Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二. 填空题 (本大题共4小题,每小题5分.)
13. 如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,
①.BD∥平面CB1D1
②.AC1⊥BD
③.AC1⊥平面CB1D1
④.异面直线AD与CB1所成的角为60°
以上结论错误的有 .
14. 已知直线:与坐标轴围成的面积为,
则数列{}的前n项和为 .
15.已知三棱锥中, A、B、C三点均在球心为的球表面上,且AB=BC=1,,三棱锥的体积为,则球的表面积是___________.
16、若直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则________.
三.解答题: 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题12分) 设.
(1)求的单调区间;
(2)在锐角中,角,,的对边分别为,,,
若, ,求面积的最大值.
18.(本小题12分) 设数列的前n项和满足且 成等差数列.
( 1 )求数列的通项公式;
( 2 )若数列满足,求数列的前n项和.
19. (本小题12分) 如下图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分 别是AB,AD,CD的中点,
求: (1)·的值;
(2)线段EG的长;
(3)异面直线EG与AC所成角的大小.
20.(本小题12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,E为PC中点,底面ABCD是直角梯形,.
(1) 求证:BE∥平面PAD;
(2) 求证:平面PBC⊥平面PBD;
(3) 在棱PC上是否存在一点Q,使得二面角Q-BD-P为。若存在,求的值;若不存在,说明理由。
21. (本小题12分)已知函数.
(1)若,求曲线在处的切线方程;
(2)求的单调区间;
(3)设,若对任意,均存在,
使得,求实数的取值范围.
选做题:请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做
第一题计分
22. (本小题10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线L:(t为参数),
曲线C1:(θ为参数).
(1)设直线L与C1相交于A,B两点,求|AB|;
(2)若把曲线C1上各点的横坐标变为原来的,纵坐标变为原来的,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线L的距离的最小值.
23. (本小题10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数,.
(1)当a=-1时,解不等式;
(2)若时,,求实数a的取值范围.
宁夏长庆高级中学2018届高三年级第四次月考数学答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
C
A
D
B
A
D
B
A
C
B
13. ④ 14. 15. 64 16.
17. 解(1)由题意
,
由,可得,
由,可得,
所以的单调递增区间是,单调递减区间是;
(2),,
由题意是锐角,所以;由余弦定理:,
可得,,且当时成立,
,面积最大值为.
18. 解:(Ⅰ)由已知Sn=2an-a1,有
n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,
即an=2an-1(n≥2),
从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.
又∵a1,a3+1,a4成等差数列,即a1+a4=2(a3+1)
∴8a1+2=8a1+ a1,
解得:a1=2.
所以,数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.故an=2n.
(2)由(1)知an=2n
19 【解析】设=,=,=,则||=||=||=1,
〈,〉=〈,〉=〈,〉=60°,==-,
=-,=-.
(1)·=(-)·(-)=-·+2=-+=.
(2)=++=+(-)+(-)
=-++=-++,
∴2=(-++)2=(2+2+2-2·-2·+2·)=,
∴||=,即EG的长为.
(3)由(2)知,·=(-++)·=-·+2+·=,
∴cos〈,〉===.
故异面直线EG与AC所成的角为45°.
20
解:设PD中点为F,连接EF,
点E,F分别是棱PC,PD的中点,
,.
四边形FABE为平行四边形.
,平面,
平面
(2)在梯形中,过点作于,
在中,,.
又在中,,,
, .
面面,面面,,面,
面, , ,平面,平面
平面, 平面,
平面平面
(3)设在棱PC上是存在一点Q,使得二面角Q-BD-P为,设
以为原点,所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则.
令,,。
平面,即平面的法向量.
设面的法向量为
则,即.令,得.
二面角为,
,解得.
Q在PC上,,,所以=.
21. (本小题12分)已知函数.
(1)若,求曲线在处的切线方程;
(2)求的单调区间;
(3)设,若对任意,均存在,
使得,求的取值范围.
解:(1)由已知,,所以斜率,
又切点(1,2),所以切线方程为,即
故曲线在处的切线方程为.−−−−−−−(4分)
(2)
①当时,由于,故,,所以的单调递增区间为.−−−(6分)
②当时,由,得,在区间上,在区间上,所以,函数的单调递增区间是,单调递减区间是−−−−−−(8分)
(3)由已知,转化为.,所以
由(2)知,当时,在上单调递增,值域为,故不符合题意.
当时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是,故的极大值也为最大值为,所以,解得.所以的取值范围为−−−−−−−−−−−−−−−(12分)
22. 选修4-4:坐标系与参数方程
解 (1)l的普通方程为y=(x-1),C1的普通方程为x2+y2=1.联立方程解得l与C1的交点为A(1,0),B,则|AB|=1.
(2)C2的参数方程为(θ为参数),故点P的坐标是,
从而点P到直线l的距离是
d==,
由此当sin=-1时,d取得最小值,且最小值为(-1).
23.已知函数,.
(1)当时,解不等式;
(2)若时,,求的取值范围.
解:(1)当时,不等式为;
当时,不等式转化为,不等式解集为空集;
当时,不等式转化为,解之得;
当时,不等式转化为,恒成立;
综上所求不等式的解集为.
(2)若时,恒成立,即,亦即恒成立,
又因为 , 所以,所以的取值范围为.