小专题(六) 特殊平行四边形的性质与判定
1． 如图，四边形ABCD，DEFG都是正方形，连接AE，CG.
(1)求证：AE＝CG；
(2)观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．
解：(1)证明：∵四边形ABCD，DEFG都是正方形，∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADC＝∠GDE＝90 °.
∴∠ADC＋∠ADG＝∠GDE＋∠ADG，即∠CDG＝∠ADE.
∴△ADE≌△CDG(SAS)．
∴AE＝CG.
(2)猜想：AE⊥CG.
证明：设AE与CG相交于点M，AD与CG相交于点N.
∵△ADE≌△CDG，
∴∠DAE＝∠DCG.
又∵∠ANM＝∠CND，
∴∠AMN＝∠ADC＝90 °.
∴AE⊥CG.
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2．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF是∠DAB的平分线．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵CF＝AE，
∴BE＝DF.
∴四边形BFDE为平行四边形．
∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90 °.
∴四边形BFDE是矩形．
(2)∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90 °.∴∠BFC＝90 °.
在Rt△BFC中，由勾股定理得
BC＝＝＝10.
∴AD＝BC＝10.
又∵DF＝10，∴AD＝DF.
∴∠DAF＝∠DFA.
∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠FAB.
∴∠DAF＝∠FAB.
∴AF是∠DAB的平分线．
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3．(2018·北京)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB＝，BD＝2，求OE的长．
解：(1)证明：∵AB∥DC，
∴∠BAC＝∠DCA.
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC.
∴∠DAC＝∠DCA.∴AD＝CD.
∵AB＝AD，∴AB＝CD.
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．
(2)由(1)知四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC.∴∠AOB＝90 °，BO＝BD＝1.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
AO＝＝2.
∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90 °.
在Rt△ACE中，点O是斜边AC的中点，
∴OE＝AO＝2.
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4.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.
(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；
(2)请求出AM的长为何值时，四边形AMDN是矩形，并说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ND∥AM.
∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME.
又∵点E是AD边的中点，
∴DE＝AE.
∴△NDE≌△MAE(AAS)．
∴ND＝MA.
∴四边形AMDN是平行四边形．
(2)当AM的长为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：
∵AM＝1＝AD＝AE，∠DAB＝60 °，
∴△AEM是等边三角形．
∴∠AME＝∠AEM＝60 °，EM＝AE＝ED.
∴∠EMD＝∠EDM＝30 °.
∴∠AMD＝∠AME＋∠EMD＝90 °.
∴四边形AMDN是矩形．
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5．如图1，在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E.
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)如图2，若BE⊥EC，求证：四边形ABFE是菱形．
图1 图2
证明：(1)∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD，
∴∠FAE＝∠BAE，∠FCE＝∠FCD.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠FCD，AD∥BC.
∴∠FAE＝∠FCE，∠FCE＝∠CED.
∴∠FAE＝∠CED.∴AF∥EC.
又∵AE∥CF，
∴四边形AFCE为平行四边形．
(2)∵AF∥EC，BE⊥EC，
∴AF⊥BE.
∴∠AOE＝∠AOB＝90 °.
在△ABO和△AEO中，
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∴△ABO≌△AEO(ASA)．
∴BO＝EO.
∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AFB.
∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠EAF.
∴∠AFB＝∠BAF.
又∵∠AOB＝∠FOB＝90 °，BO＝BO，
∴△ABO≌△FBO(AAS)．
∴AO＝FO.
∴四边形ABFE是平行四边形．
又∵AF⊥BE，
∴四边形ABFE是菱形．
6．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H.
(1)你能说明四边形EHFG是平行四边形吗？
(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EHFG是一个菱形？
(3)四边形EHFG会成为一个正方形吗？
解：(1)能说明四边形EHFG是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
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∴AB CD.
而AE＝AB，CF＝CD，
∴AE CF.
∴四边形AECF是平行四边形．∴GF∥EH.
同理可得GE∥HF.
∴四边形EHFG是平行四边形．
(2)当四边形ABCD是矩形时，四边形EHFG是菱形．
由(1)知，四边形EHFG是平行四边形．
连接EF.当四边形ABCD是矩形时，四边形EBCF也是矩形，
∴EH＝FH，∴四边形EHFG是菱形．
(3)当四边形ABCD是矩形且AB＝2AD时，四边形EHFG是正方形．
由(2)知，当四边形ABCD是矩形时，四边形EHFG是菱形．
又由AB＝2AD可知，四边形EBCF是正方形．
根据正方形的性质知，EC⊥BF，即∠EHF＝90 °，
∴四边形EHFG是正方形．
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