2017-2018学年山东省青岛市李沧区八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（本题满分24分，共8小题，每小题3分）下列每小题都给出标号
1．已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（ ）
A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b
2．观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ ）
A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70°
4．已知等腰三角形的两边长分别为6cm、3cm，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．9cm B．12cm C．12cm或15cm D．15cm
5．如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE，若点C的坐标为（0，1），AC＝2，则这种变换可以是（ ）
A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1
B．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3
C．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1
D．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3
6．已知不等式组的解集是x≥1，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a≤1 C．a≥1 D．a＞1
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D
，连接BD，则∠ADB＝（ ）
A．100° B．160° C．80° D．20°
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3cm，∠A＝120°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于D，E，则EC的长为（ ）
A．4cm B．2 C．5 D．
二．填空题（本题满分24分，共8道小题，每小题3分）
9．若点（﹣1，﹣3a+1）在第二象限，则a的取值范围是 ．
10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，将三角形ABC沿直线BC平移到△DCE的位置，连接AD，则∠ADC＝ ．
11．一次生活常识竞赛共有25道题，答对一题得4分，不答题得0分，答错一题扣2分．若小明有2道题没答，且竞赛成绩高于80分，则小明至多答错了 道题．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2cm，如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点D处，连接BD，那么线段BD＝ cm．
13．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则其顶角度数为 °．
14．已知在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x+与y＝﹣x+2的图象如图所示，那么不等式x+＜﹣x+2的解集为 ．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为 ．
16．如图，点A1的坐标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为 ．
三．作图题（本题满分4分）
17．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：∠ABC和点D、E，求作：在∠ABC内部确定一点P，使点P到∠ABC的两边距离相等，并且PD＝PE．
四、解答题
18．（20分）计算：
（1）解不等式：4（x+1）＞﹣x+1
（2）解不等式
（3）解不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集
（4）解不等式﹣2＜3﹣x≤5，并写出满足不等式的所有正整数解．
19．（6分）如图，把一块等腰直角三角形零件（△ABC，其中∠ACB＝90°），放置在一凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，已知∠ADE＝∠BED＝90°，测得AD＝5cm，BE＝7cm，求该三角形零件的面积．
20．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，连接AF．求证：AF平分∠BAC．
21．（8分）如图所示，在边长为1个单位的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点均在格点上．
（1）△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，画出△A1B1C1
（2）将△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1；并直接写出点A2、B2
的坐标．
22．（9分）某单位计划在“五一”小长假期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人2000元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠．设该单位参加旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需费用为y1元，选择乙旅行社所需费用为y2元．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的关系式．
（2）若该单位共有20人要参加这次旅游，则选择哪家旅行社可以使总费用较低？
（3）若该单位最多愿意出的费用为19400元，则选择哪家旅行社可以使较多的员工去旅行？
23．（9分）提出问题：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？
问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：
探究一：以△ABC的3个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？
如图①，显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形．
探究二：以△ABC的3个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图①△ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：
第一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q在△PAC的内部，如图②；另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上．不妨设点Q在PA上，如图③
．显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个互不重叠的小三角形．
探究三：以△ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点，可把△ABC分割成 个互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图．
探究四：以△ABC的三个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点为顶点，可把△ABC分割成 个互不重叠的小三角形．
探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点为顶点，可把四边形分割成 个互不重叠的小三角形．
问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成 个互不重叠的小三角形．
实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算）
24．（10分）如图，在直角三角形△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm，点P从A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动．P，Q分别从A，B同时出发，当一个动点到达终点则另一动点也随之停止运动．设运动时间为t（s）
（1）求t为何值时，△PBQ为等腰三角形？
（2）是否存在某一时刻t，使点Q在线段AC的垂直平分线上？
（3）点P、Q在运动的过程中，是否存在某一时刻t，直线PQ把△ABC的周长与面积同时分为1：2两部分？若存在，求出t，若不存在，请说明理由．
2017-2018学年山东省青岛市李沧区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本题满分24分，共8小题，每小题3分）下列每小题都给出标号
1．已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（ ）
A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b
【分析】根据不等式的性质即可得到a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．
【解答】解：由不等式的性质得a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题．
2．观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
3．等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ ）
A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70°
【分析】由于等腰三角形的两底角相等，所以90°的角只能是顶角，再利用三角形的内角和定理可求得另两底角．
【解答】解：∵等腰三角形的两底角相等，
∴两底角的和为180°﹣90°＝90°，
∴两个底角分别为45°，45°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；确定90°的角是三角形的顶角是正确解答本题的关键．
4．已知等腰三角形的两边长分别为6cm、3cm，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．9cm B．12cm C．12cm或15cm D．15cm
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和6cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰为3cm时，3+3＝6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．
当腰为6cm时，6﹣3＜6＜6+3，能构成三角形；
此时等腰三角形的周长为6+6+3＝15cm．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
5．如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE，若点C的坐标为（0，1），AC＝2，则这种变换可以是（ ）
A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1
B．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3
C．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1
D．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3
【分析】观察图形可以看出，Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE，应先旋转然后平移即可．
【解答】解：根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE．
故选：D．
【点评】本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移的知识，掌握旋转和平移的概念和性质是解题的关键．
6．已知不等式组的解集是x≥1，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a≤1 C．a≥1 D．a＞1
【分析】利用不等式组取解集的方法判断确定出a的范围即可．
【解答】解：∵等式组的解集是x≥1，
∴a＜1，
故选：A．
【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ADB＝（ ）
A．100° B．160° C．80° D．20°
【分析】在△ABC中可求得∠ACB＝∠ABC＝80°，在△BCD中可求得∠BDC＝80°，可求出∠ADB．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝20°，
∴∠ABC＝∠ACB＝80°，
又∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD＝80°，
∴∠ADB＝180°﹣80°＝100°，
故选：A．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3cm，∠A＝120°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于D，E，则EC的长为（ ）
A．4cm B．2 C．5 D．
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠B＝∠C＝30°，连接AE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝BE，再利用等边对等角求出∠BAE＝∠B＝30°，然后求出∠CAE＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣120°）＝30°，
连接AE，
∵AB的垂直平分线交BC于E，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B＝30°，
∵∠A＝120°，
∴∠EAC＝90°，
∴CE＝＝＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
二．填空题（本题满分24分，共8道小题，每小题3分）
9．若点（﹣1，﹣3a+1）在第二象限，则a的取值范围是 a ．
【分析】根据点的位置得出不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵点（﹣1，﹣3a+1）在第二象限，
∴﹣3a+1＞0，
解得：a＜，
故答案为：a．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和点的坐标，能根据题意得出不等式是解此题的关键．
10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，将三角形ABC沿直线BC平移到△DCE的位置，连接AD，则∠ADC＝ 65° ．
【分析】根据平移得出AD∥BC，AB∥DC，根据平行线的性质得出∠ADC＝∠DCE，∠B＝∠DCE，求出∠ADC＝∠B，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠B即可．
【解答】解：∵将三角形ABC沿直线BC平移到△DCE的位置，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴∠ADC＝∠DCE，∠B＝∠DCE，
∴∠ADC＝∠B，
∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝65°，
∴∠ADC＝65°，
故答案为：65°．
【点评】本题考查了平移的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，能求出∠ADC＝∠B和∠B的度数是解此题的关键．
11．一次生活常识竞赛共有25道题，答对一题得4分，不答题得0分，答错一题扣2分．若小明有2道题没答，且竞赛成绩高于80分，则小明至多答错了 2 道题．
【分析】关键描述语：竞赛成绩至少有80分，即答对题的总分减去答错题的总分应大于等于80，列出不等式求解即可．
【解答】解：小明最多答错了x道题，则答对了25﹣x﹣2道题，
依题意得：4×（25﹣x﹣2）﹣2x≥80
解得：x≤2
故小明最多答错了2道题．
故答案为：2
【点评】此题考查一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系，正确地表示用代数式，表示出小明的得分是解决本题的关键．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2cm，如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点D处，连接BD，那么线段BD＝ 2cm cm．
【分析】根据旋转的性质可知，点B与D重合，那么点D与点B的距离是2OB，由勾股定理可得OB的大小．
【解答】解：如图，∵∠C＝90°，AC＝BC＝2cm，O为AC的中点，
∴OB＝＝cm，
∵根据旋转的性质可知，点B与D重合，
∴BD＝2OB＝2cm．
故答案为2cm．
【点评】此题主要考查等腰直角三角形的性质和旋转的性质，得出BD＝2OB是关键．
13．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则其顶角度数为 42或138 °．
【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可．
【解答】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+48°＝138°；
②如图1，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣48°＝42°．
故答案为：42或138．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．同时考查了：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
14．已知在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x+与y＝﹣x+2的图象如图所示，那么不等式x+＜﹣x+2的解集为 x＜1 ．
【分析】根据两函数的交点坐标得出不等式的解集即可．
【解答】解：∵从图象可知：两一次函数y＝x+与y＝﹣x+2的图象的交点坐标是（1，），
∴不等式x+＜﹣x+2的解集为x＜1，
故答案为：x＜1．
【点评】本题考查了一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式，能了解两一次函数的交点坐标与一元一次不等式的解集的关系是解此题的关键．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为 ．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点D到AC的距离也等于DE，然后利用△ABC的面积列方程求出DE，再判断出△ADE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AE，再求出BE，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，
∴点D到AC的距离也等于DE，
∴S△ABC＝×3•DE+×4•DE＝×3×4，
解得DE＝，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝90°，
∴∠DAE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝DE＝，
∴BE＝3﹣＝，
在Rt△BDE中，BD＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出等腰直角三角形是解题的关键．
16．如图，点A1的坐标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为 ﹣（）2015 ．
【分析】先求出A1、A2、A3、A4、A5坐标，探究规律，利用规律解决问题．
【解答】解：∵A1（1，0），A2[0，（）1]，A3[﹣（）2，0]．A4[0，﹣（）3]，A5[（）4，0]…，
∴序号除以4整除的话在y轴的负半轴上，余数是1在x轴的正半轴上，余数是2在y轴的正半轴上，余数是3在x轴的负半轴上，
∵2016÷4＝504，
∴A2016在y轴的负半轴上，纵坐标为﹣（）2015．
故答案为﹣（）2015．
【点评】本题考查坐标与图形的性质、规律型题目，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
三．作图题（本题满分4分）
17．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：∠ABC和点D、E，求作：在∠ABC内部确定一点P，使点P到∠ABC的两边距离相等，并且PD＝PE．
【分析】分别作出DE的垂直平分线及∠ABC的平分线，两条直线的交点即为P点的位置．
【解答】解：如图所示，点P为所求．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，涉及的是角平分线及线段垂直平分线的作法，需同学们熟练掌握．
四、解答题
18．（20分）计算：
（1）解不等式：4（x+1）＞﹣x+1
（2）解不等式
（3）解不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集
（4）解不等式﹣2＜3﹣x≤5，并写出满足不等式的所有正整数解．
【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（3）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
（4）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，据此可得正整数解．
【解答】解：（1）4x+4＞﹣x+1，
4x+x＞1﹣4，
5x＞﹣3，
x＞﹣；
（2）3（x﹣1）＜2（6﹣x），
3x﹣3＜12﹣2x，
3x+2x＜12+3，
5x＜15，
x＜3；
（3）解不等式3x+2＜2（x+3），得：x＜4，
解不等式3x﹣2≥4﹣x，得：x≥，
则不等式组的解集为≤x＜4，
表示在数轴上如下：
（4）解不等式3﹣x＞﹣2，得：x＜5，
解不等式3﹣x≤5，得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜5，
所以该不等式组的正整数解为1、2、3、4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组和一元一次不等式，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（6分）如图，把一块等腰直角三角形零件（△ABC，其中∠ACB＝90°），放置在一凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，已知∠ADE＝∠BED＝90°，测得AD＝5cm，BE＝7cm，求该三角形零件的面积．
【分析】首先证明△ADC≌△CEB，根据全等三角形的性质可得DC＝BE＝7cm，再利用勾股定理计算出AC长，然后利用三角形的面积公式计算出该零件的面积即可．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC＝BE＝7cm，
∴AC＝＝＝（cm），
∴BC＝AC＝，
∴该零件的面积为：××＝37（cm2）．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，以及勾股定理的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法．
20．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，连接AF．求证：AF平分∠BAC．
【分析】先根据AB＝AC，可得∠ABC＝∠ACB，再由垂直，可得90°的角，在△BCE和△BCD中，利用内角和为180°，可分别求∠BCE和∠DBC，利用等量减等量差相等，可得FB＝FC，再易证△ABF≌△ACF，从而证出AF平分∠BAC．
【解答】证明：∵AB＝AC（已知），
∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．
∵BD、CE分别是高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB（高的定义）．
∴∠CEB＝∠BDC＝90°．
∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，∠DBC＝90°﹣∠ACB．
∴∠ECB＝∠DBC（等量代换）．
∴FB＝FC（等角对等边），
在△ABF和△ACF中，
，
∴△ABF≌△ACF（SSS），
∴∠BAF＝∠CAF（全等三角形对应角相等），
∴AF平分∠BAC
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；等量减等量差相等的利用是解答本题的关键．
21．（8分）如图所示，在边长为1个单位的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点均在格点上．
（1）△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，画出△A1B1C1
（2）将△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1；并直接写出点A2、B2的坐标．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点和旋转的性质，分别作出A1、B1对称点A2、B2，从而得到△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C1为所作，点A2、B2的坐标分别为（2，1），（0，0）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
22．（9分）某单位计划在“五一”
小长假期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人2000元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠．设该单位参加旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需费用为y1元，选择乙旅行社所需费用为y2元．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的关系式．
（2）若该单位共有20人要参加这次旅游，则选择哪家旅行社可以使总费用较低？
（3）若该单位最多愿意出的费用为19400元，则选择哪家旅行社可以使较多的员工去旅行？
【分析】（1）根据题意直接得到．
（2）把x＝20直接代入可得
（3）把y＝19400代入可得
【解答】解：（1）y1＝2000×0.75x＝1500x
y2＝2000×0.8（x﹣1）＝1600x﹣1600
（2）当x＝20时，y1＝30000
当x＝20时，y2＝30400
∵y1＜y2
∴选择甲旅行社
（3）当y＝19400时，19400＝1500x1．
x1＝
当y＝19400时，19400＝1600x2﹣1600
x2＝
∵＞
∴选乙旅行社．
【点评】本题考查了一次函数的应用，关键是列出两个解析式．
23．（9分）提出问题：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？
问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：
探究一：以△ABC的3个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？
如图①，显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形．
探究二：以△ABC的3个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图①△ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：
第一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q在△PAC的内部，如图②；另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上．不妨设点Q在PA上，如图③．显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个互不重叠的小三角形．
探究三：以△ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点，可把△ABC分割成 7 个互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图．
探究四：以△ABC的三个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点为顶点，可把△ABC分割成 （2m+1） 个互不重叠的小三角形．
探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点为顶点，可把四边形分割成 （2m+2） 个互不重叠的小三角形．
问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成 （2m+n﹣2） 个互不重叠的小三角形．
实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算）
【分析】探究三：分三角形内部三点共线与不共线两种情况作出分割示意图，查出分成的部分即可；
探究四：根据前三个探究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，根据此规律写出（m+3）个点分割的部分数即可；
探究拓展：类似于三角形的推理写出规律整理即可得解；
问题解决：根据规律，把相应的点数换成m、n整理即可得解；
实际应用：把公式中的相应的字母，换成具体的数据，然后计算即可得解．
【解答】解：探究三：分割示意图不唯一，如下图所示：
可把△ABC分割成7个互不重叠的小三角形，
故答案为：7；
探究四：三角形内部1个点时，共分割成3部分，3＝3+2（1﹣1），
三角形内部2个点时，共分割成5部分，5＝3+2（2﹣1），
三角形内部3个点时，共分割成7部分，7＝3+2（3﹣1），
…，
所以，三角形内部有m个点时，3+2（m﹣1）＝2m+1，
故答案为：（2m+1）；
探究拓展：
四边形的4个顶点和它内部的m个点，
则分割成的不重叠的三角形的个数为：4+2（m﹣1）＝2m+2，
故答案为：（2m+2）；
问题解决：n+2（m﹣1）＝2m+n﹣2，
故答案为：（2m+n﹣2）；
实际应用：把n＝8，m＝2012代入上述代数式，得
2m+n﹣2，
＝2×2012+8﹣2，
＝4024+8﹣2，
＝4030．
【点评】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律的问题，读懂题目信息，根据前四个探究得到每多一个点，则三角形的个数增加2是解题的关键．
24．（10分）如图，在直角三角形△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm，点P从A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动．P，Q分别从A，B同时出发，当一个动点到达终点则另一动点也随之停止运动．设运动时间为t（s）
（1）求t为何值时，△PBQ为等腰三角形？
（2）是否存在某一时刻t，使点Q在线段AC的垂直平分线上？
（3）点P、Q在运动的过程中，是否存在某一时刻t，直线PQ把△ABC的周长与面积同时分为1：2两部分？若存在，求出t，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意求出AP＝2t，BQ＝4t，根据等腰三角形的概念列出方程，解方程即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到QC＝QA，根据勾股定理表示出AQ，根据题意列出方程，解方程即可；
（3）分AC+AP+CQ＝2×（BP+BQ）、2（AC+AP+CQ）＝BP+BQ两种情况，根据周长公式求出t，根据三角形的面积公式判断即可．
【解答】解：（1）由题意得，AP＝2t，BQ＝4t，
则BP＝12﹣2t，
当△PBQ为等腰三角形时，只有BP＝BQ，
∴12﹣2t＝4t，
解得，t＝2；
（2）当点Q在线段AC的垂直平分线上时，QC＝QA，
设BQ＝x，
则＝16﹣x，
解得，x＝3.5，即BQ＝3.5，
∴t＝＝（秒）；
（3）在Rt△ABC中，AC＝＝20，
△ABC的面积＝×AB×BC＝96cm2，
当直线PQ把△ABC的周长分为1：2两部分时，
当AC+AP+CQ＝2×（BP+BQ）时，20+2t+16﹣4t＝2（12﹣2t+4t），
解得，t＝2，
则PB＝12﹣4＝8，BQ＝4×2＝8，
则△BPQ的面积＝×PB×QB＝32，
∴四边形CAPQ的面积＝96﹣32＝64，
△BPQ的面积：四边形CAPQ的面积＝1：2，
∴当t＝2时，直线PQ把△ABC的周长与面积同时分为1：2两部分，
当2（AC+AP+CQ）＝BP+BQ时，2（20+2t+16﹣4t）＝12﹣2t+4t，
解得，t＝10（不合题意），
∴当t＝2时，直线PQ把△ABC的周长与面积同时分为1：2两部分．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
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