2019年广东省茂名市电白县中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．a的倒数是3，则a的值是（ ）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
2．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口44亿，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．44×108 B．4.4×109 C．4.4×108 D．4.4×1010
3．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若CD＝6，则DE＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．用加减法解方程组时，若要求消去y，则应（ ）
A．①×3+②×2 B．①×3﹣②×2 C．①×5+②×3 D．①×5﹣②×3
5．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面与“生”相对应的面上的汉字是（ ）
A．数 B．学 C．活 D．的
6．从多边形一个顶点出发向其余的顶点引对角线，将多边形分成6个三角形，则此多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．对长江水质情况的调查
B．对端午节期间市场上粽子质量情况的调查
C．对某班40名同学体重情况的调查
D．对某类烟花爆竹燃放安全情况的调查
8．有8个数的平均数是11，另外有12个数的平均数是12，这20个数的平均数是（ ）
A．11.6 B．2.32 C．23.2 D．11.5
9．在﹣1，1，﹣3，3四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
10．如图，∠BAC内有一点P，直线L过P与AB平行且交AC于E点．今欲在∠BAC的两边上各找一点Q、R，使得P为QR的中点，以下是甲、乙两人的作法：
（甲）①过P作平行AC的直线L1，交直线AB于F点，并连接EF．
②过P作平行EF的直线L2，分别交两直线AB、AC于Q、R两点，则Q、R即为所求．
（乙）①在直线AC上另取一点R，使得AE＝ER．
②作直线PR，交直线AB于Q点，则Q、R即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．因式分解：m3n﹣9mn＝ ．
12．我们用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的 ．
13．若分式的值为0，则a的值是 ．
14．如图，在3×3的方格中（共有9个小格），每个小方格都是边长为1的正方形，O、B、C是格点，则扇形OBC的面积等于 （结果保留π）
15．已知直线y＝kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为 ．
三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）
16．计算：（6x4﹣8x3）÷（﹣2x2）﹣（3x+2）（1﹣x）．
17．当x取哪些整数值时，不等式x+2与4﹣7x＜﹣3都成立？
18．如图，将平行四边形ABCD向左平移2个单位长度，然后再向上平移3个单位长度，可以得到平行四边形A′B′C′D′，画出平移后的图形，并指出其各个顶点的坐标．
四．解答题（共2小题，满分14分，每小题7分）
19．某校计划组织学生到市影剧院观看大型感恩歌舞剧，为了解学生如何去影剧院的问题，学校随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果制成了表格、条形统计图和扇形统计图（均不完整）．
（1）此次共调查了多少位学生？
（2）将表格填充完整；
步行
骑自行车
坐公共汽车
其他
50
（3）将条形统计图补充完整．
20．已知一个不透明的袋子中装有7个只有颜色不同的球，其中2个白球，5个红球．
（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率．
（2）从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率．
（3）若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球．搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出两个球，颜色是一白一黄的概率为，求袋中有几个红球被换成了黄球．
五．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
21．如图，已知矩形ABCD中，F是BC上一点，且AF＝BC，DE⊥AF，垂足是E，连接DF．求证：
（1）△ABF≌△DEA；
（2）DF是∠EDC的平分线．
22．某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答：
（1）当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品商场获得的日盈利是多少？
（2）在商品销售正常的情况下，每件商品的涨价为多少元时，商场日盈利最大？最大利润是多少？
23．如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D，点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H．若等边△ABC的边长为4，求FH的长．
（结果保留根号）
六．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）
24．阅读下面材料，然后解答问题：
在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）为端点的线段的中点坐标为（，）．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（x＜0）和y＝（x＞0）的图象关于y轴对称，直线y＝+与两个图象分别交于A（a，1），B（1，b）两点，点C为线段AB的中点，连接OC、OB．
（1）求a、b、k的值及点C的坐标；
（2）若在坐标平面上有一点D，使得以O、C、B、D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标．
2019年广东省茂名市电白县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】根据倒数的定义进行解答即可．
【解答】解：∵a的倒数是3，
∴3a＝1，解得a＝．
故选：A．
【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积为1的两个数叫互为倒数．
2．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：44亿＝4.4×109．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．【分析】直接根据垂径定理进行解答即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，CD＝6，
∴DE＝AB＝×6＝3．
故选：A．
【点评】本题考查的是垂径定理，即垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
4．【分析】利用加减消元法消去y即可．
【解答】解：用加减法解方程组时，若要求消去y，则应①×5+②×3，
故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
5．【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．
【解答】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
∴在此正方体上与“生”字相对的面上的汉字是“学”．
故选：B．
【点评】本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．
6．【分析】根据从一个n边形一个顶点出发的对角线可将这个多边形分成（n﹣2）个三角形进行计算即可．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得，n﹣2＝6，
解得，n＝8．
故选：C．
【点评】本题考查的是n边形的对角线的知识，从n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可将这个多边形分成（n﹣2）个三角形．
7．【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
【解答】解：A：长江水污染的情况，由于范围较大，适合用抽样调查；故此选项错误；
B、对端午节期间市场上粽子质量情况的调查，数量较大；不容易掌控，适合抽样调查，故此选项错误；
C：对某班40名同学体重情况的调查，数量少，范围小，采用全面调查；故此选项正确；
D：对某类烟花爆竹燃放安全情况的调查，具有破坏性，应选择抽样调查；故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了适合普查的方式，一般有以下几种：①范围较小；②容易掌控；③不具有破坏性；④可操作性较强．基于以上各点，“了解全班同学本周末参加社区活动的时间”适合普查，其它几项都不符合以上特点，不适合普查．
8．【分析】根据平均数的公式求解即可，8个数的和加12个数的和除以20即可．
【解答】解：根据平均数的求法：共（8+12）＝20个数，这些数之和为8×11+12×12＝232，故这些数的平均数是＝11.6．
故选：A．
【点评】本题考查的是样本平均数的求法．．
9．【分析】将各数按照从小到大顺序排列，找出最小的数即可．
【解答】解：根据题意得：﹣3＜﹣1＜1＜3，
则最小的数是﹣3，
故选：C．
【点评】此题考查了有理数大小比较，将各数正确的排列是解本题的关键．
10．【分析】根据甲的作法可知，四边形EFQP、EFPR都是平行四边形．根据平行四边形性质可得P是QR的中点；
在乙的作法中，根据平行线等分线段定理知QP＝PR．
【解答】解：（甲）由题意可知：四边形EFQP、EFPR均为平行四边形⇒EF＝QP＝PR．
∴P点为QR的中点，即为所求
故甲正确；
（乙）由题意可知：在△AQR中，∵AE＝ER（即E为AR中点），且PE∥AQ，
∴P点为QR的中点，即为所求，
故乙正确．
∴甲、乙两人皆正确，故选A．
【点评】此题考查平行线分线段成比例定理及平行四边形的性质、作图能力等知识点，难度不大．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．【分析】原式提取mn后，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝mn（m2﹣9）＝mn（m+3）（m﹣3）．
故答案为：mn（m+3）（m﹣3）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．【分析】当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性回答即可．
【解答】解：用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是了解三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．
13．【分析】根据分式的值为0的条件列出关于a的不等式组，求出a的值即可．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
解得a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
14．【分析】根据勾股定理求得OB长，再根据S扇形＝进行计算即可．
【解答】解：BO＝＝，
S扇形＝＝，
故答案为：．
【点评】此题主要扇形的面积计算，关键是掌握扇形的面积公式．
15．【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．
【解答】解：把点（12，﹣5）代入直线y＝kx得，
﹣5＝12k，
∴k＝﹣；
由y＝﹣x平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y＝﹣x+m（m＞0），
设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如下图所示）
当x＝0时，y＝m；当y＝0时，x＝m，
∴A（m，0），B（0，m），
即OA＝m，OB＝m；
在Rt△OAB中，
AB＝，
过点O作OD⊥AB于D，
∵S△ABO＝OD•AB＝OA•OB，
∴OD•m＝×m×m，
∵m＞0，解得OD＝m
由直线与圆的位置关系可知＜6，解得0＜m＜．
故答案为：0＜m＜．
【点评】此题主要考查直线与圆的关系，关键是根据待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识解答．
三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）
16．【分析】原式第一项利用多项式除以单项式法则计算，第二项利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣3x2+4x﹣3x+3x2﹣2+2x
＝3x﹣2．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．【分析】根据题意得出不等式组，解不等式组求得其解集即可．
【解答】解：根据题意得，
解不等式①，得：x≤3，
解不等式②，得：x＞1，
则不等式组的解集为1＜x≤3，
∴x可取的整数值是2，3．
【点评】本题主要考查解不等式组的能力，根据题意得出不等式组是解题的关键．
18．【分析】根据网格结构找出点A、B、C、D的对应点A′、B′、C′、D′，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标即可．
【解答】解：如图所示，平行四边形A′B′C′D′即为所求
A′（﹣3，1）B′（ 1，1）C′（2，4）D′（﹣2，4）．
【点评】本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
四．解答题（共2小题，满分14分，每小题7分）
19．【分析】（1）由条形统计图可以得出步行的人数为50人，占所抽查的人数的10%，就可以求出调查的总人数．
（2）用总人数乘以骑自行车的百分比就求出骑自行车的人数，总人数乘以坐公共汽车的百分比就求出坐公共汽车的人数．总人数﹣步行人数﹣骑自行车人数﹣坐公共汽车人数＝其他人数．
（3）由（2）骑自行车的人数就可以补全条形统计图．
【解答】解：（1）50÷10%＝500（位）
答：此次共调查了500位学生．
（2）填表如下：
骑自行车：500×30%＝150人，
坐公共汽车：500×45%＝225人，
其他：500﹣50﹣150﹣225＝75人．
故答案为：150，225，75．
（3）如图
【点评】本题考查了条形统计图，统计表，扇形统计图的运用，解答本题的关键是求出调查的总人数．
20．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解可得；
（3）设有x个红球被换成了黄球，根据颜色是一白一黄的概率为列出关于x的方程，解之可得．
【解答】解：（1）∵袋中共有7个小球，其中红球有5个，
∴从袋中随机摸出一个球是红球的概率为；
（2）列表如下：
白
白
红
红
红
红
红
白
（白，白）
（白，白）
（白，红）
（白，红）
（白，红）
（白，红）
（白，红）
白
（白，白）
（白，白）
（白，红）
（白，红）
（白，红）
（白，红）
（白，红）
红
（白，红）
（白，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
红
（白，红）
（白，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
红
（白，红）
（白，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
红
（白，红）
（白，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
红
（白，红）
（白，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
由表知共有49种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有20种结果，
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为；
（3）设有x个红球被换成了黄球．
根据题意，得：，
解得：x＝3，
即袋中有3个红球被换成了黄球．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
五．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
21．【分析】（1）根据矩形性质得出∠B＝90°，AD＝BC，AD∥BC，推出∠DAE＝∠AFB，求出AF＝AD，根据AAS证出即可；
（2）有全等推出DE＝AB＝DC，根据HL证△DEF≌△DCF，根据全等三角形的性质推出即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AFB，
∵DE⊥AF，
∴∠DEA＝∠B＝90°，
∵AF＝BC，
∴AF＝AD，
在△DEA和△ABF中
∵，
∴△DEA≌△ABF（AAS）；
（2）证明：∵由（1）知△ABF≌△DEA，
∴DE＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，DC＝AB，
∴DC＝DE．
∵∠C＝∠DEF＝90°
∴在Rt△DEF和Rt△DCF中
∴Rt△DEF≌Rt△DCF（HL）
∴∠EDF＝∠CDF，
∴DF是∠EDC的平分线．
【点评】本题考查了矩形性质，全等三角形的性质和判定，平行线性质等知识点，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，
22．【分析】（1）根据题意，可以求得当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品和商场获得的日盈利是多少；
（2）根据题意可以写出利润和售价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
当每件商品售价定为170元时，每天可销售的商品数为：70﹣（170﹣130）×1＝30（件），此时获得的利润为：（170﹣120）×30＝1500（元），
答：当每件商品售价定为170元时，每天可销售30件商品，此时商场获得日利润1500元；
（2）设利润为w元，销售价格为x元/件，
w＝（x﹣120）×[70﹣（x﹣130）×1]＝﹣（x﹣160）2+1600，
∴当x＝160时，w取得最大值，此时w＝1600，每件商品涨价为160﹣130＝30（元），
答：在商品销售正常的情况下，每件商品的涨价为30元时，商场日盈利最大，最大利润是1600元；
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
23．【分析】（1）连接OD，证∠ODF＝90°即可．
（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF长，同理可利用△FHC中的60°
的三角函数值可求得FH长．
【解答】解：（1）DF与⊙O相切．
证明：连接OD，
∵△ABC是等边三角形，DF⊥AC，
∴∠ADF＝30°．
∵OB＝OD，∠DBO＝60°，
∴∠BDO＝60°．
∴∠ODF＝180°﹣∠BDO﹣∠ADF＝90°．
∴DF是⊙O的切线．（5分）
（2）∵△BOD、△ABC是等边三角形，
∴∠BDO＝∠A＝60°，
∴OD∥AC，
∵O是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴AD＝BD＝2，
又∵∠ADF＝90°﹣60°＝30°，
∴AF＝1．
∴FC＝AC﹣AF＝3．
∵FH⊥BC，
∴∠FHC＝90°．
在Rt△FHC中，sin∠FCH＝，
∴FH＝FC•sin60°＝．
即FH的长为．（10分）
【点评】判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，那么证直线和半径的夹角为90°即可；注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．
六．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）
24．【分析】（1）首先把A（a，1），B（1，b）代入y＝和y＝+可以得到方程组，解方程组即可算出a、b的值，继而得到A、B两点的坐标，再把B点坐标代入双曲线y＝（x＞0）上，即可算出k值，再根据中点坐标公式算出C点坐标；
（2）此题分三个情况：①四边形OCDB是平行四边形，②四边形OCBD是平行四边形，③四边形BODC是平行四边形．根据点的平移规律可得到D点坐标．
【解答】解：（1）依题意得，
解得，
∴A（﹣3，1），B（1，3），
∵点B在双曲线y＝（x＞0）上，
∴k＝1×3＝3，
∵点C为线段AB的中点，
∴点C坐标为（，），即为（﹣1，2）；
（2）将线段OC平移，使点O（0，0）移到点B（1，3），则点C（﹣1，2）移到点D（0，5），此时四边形OCDB是平行四边形；
将线段OC平移，使点C（﹣1，2）移到点B（1，3），则点O（0，0）移到点D（2，1），此时四边形OCBD是平行四边形；
线段BO平移，使点B（1，3）移到点C（﹣1，2），则点O（0，0）移到点D（﹣2，﹣1），此时四边形BODC是平行四边形．
综上所述，符合条件的点D坐标为（0，5）或（2，1）或（﹣2，﹣1）．
【点评】此题主要考查了反比例函数的综合应用，关键是掌握凡是图象经过的点必能满足解析式．
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