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2019年安庆市高三模拟考试（二模）
数学试题（文）
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题.每小题5分。满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合M= {} ,N= {-2，-1，0，1，2}，则等于
A. {1} B. {-2,-1} C. {1,2} D. {0,1,2}
2.设是虚数单位，则复数的模是
A.10 B. C. D.
3. 己知是等差数列{}的前n项和， ，则
A.20 B.28 C.36 D.4
4.函数，若实数满足，则
A.2 B.4 C. 6 D.8
5. 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1，路线为A-M-N-A1，则蚂蚁爬行的最短路程是
A. B.
C. D.
6. 函数的图象的大致形状是
7.“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形。若直角三角形
中较小的锐角满足，则从图中随机取一点，则此点落在阴影部分的概率是
A. B.
C. D.
8.为了计算，设计如图所示的程序框图，则在空白框中应填入
A.
B.
C.
D.
9.若函数在R上的最大
值是3，则实数
A.-6
B. -5
C.-3
D. -2
10. 直线是抛物线在点(-2,2)处的切线，点P是圆上的动点，则点 P到直线的距离的最小值等于
A.0 B.
C. D.
11.如图是某个几何体的三视图，根据图中数据（单位：cm) 求得该几何体的表面积是
A. B.
C. D.
12.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且函数满足，则下列命题中正确的是
A.函数图象的两条相邻对称轴之间距离为
B.函数图象关于点()对称
C.函数图象关于直线对称
D.函数在区间内为单调递减函数
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
13.向量与向量 (-1,2)的夹角余弦值是 .
14. 若双曲线的一条渐近线方程是,则此双曲线的离心率为 .
15.设实数满足不等式，则函数的最大值为 .
16.在△ABC中，AB= 1，BC =，C4 = 3, 0为△ABC的外心，若，其中，则点P的轨迹所对应图形的面积是 .
三、解答题：本大题满分60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分）
已知等比数列{}满足：.
(I)求{}的通项公式及前n项和；
(II)设,求数列{}的前n项和；
18.(本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC = ，AA1丄平面ABC，AB = AC，E是线段BB1上的动点，D足线段BC的中点。
(I)证明：AD丄C1E；
(II)若AB = 2, AA1=,且直线AC1、C1E所成角的余弦值为,试指出点E在线段BB1上的位置，并求三棱锥B1-A1DE的体积。
19.(本小题满分12分）
我们知道，地球上的水资源有限，爱护地球、节约用水是我们每个人的义务与责任。某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准。为此，对全市家庭日常用水量的情况进行抽样调査，获得了 n个家庭某年的用水量:(单位：立方米）。统计结果如下表所示。
(I)分别求出的值；
(II)若以各组区间中点值代表该组的取值，试估计全市家庭年均用水量；
(Ⅲ)从样本中年用水量在[50,60](单位：立方米）的5个家庭中任选3个，作进一步的跟踪研究，求年用水里最多的家庭被选中的概率（5个家庭的年用水量都小相等）。
20.(本小题满分12分〉
如图，椭圆E: (a>b>0)的左、右顶点分别为A、B,离心率 ，长轴与短轴的长度之和为10.
(I)求椭圆E的标准方程；
(II)在椭圆E上任取点P（与A、B两点不重合），直线PA交轴于点C，直线PB交轴于点D，证明：为定值。
21.(本小题满分12分）
设函数.其中，函数的图表在点A处的切线与函数的图象在点B（处的切线互相垂直。
(I)求t的值；
(II)若在上恒成立，求实数的取值范围。
请考生在第（22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数）。以原点0为极点，以轴非负半轴为极轴迮立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。圆C的方程为. 被圆C截得的弦长为.
(I)求实数m的值；
(II)设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为（m，)，且m>0,求的值.
23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知.
(I)解不等式/⑴；
(II)若不等式 (m>0,n>0)对任意的都成立，证明：
.
2019年安庆市高三模拟考试（二模）
文科数学试题参考答案
一、 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是符合要求的
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
B
D
A
A
D
B
C
C
A
D
1.解析：本题主要考查集合的运算.,. 故选C.
2.解析：本题主要考查复数的计算及模长意义..故选B.
3.解析：本题主要考查等差数列的性质， 故选B.
4.解析：由分段函数的结构知,其定义域是所以
(1)当时, 就是
(2)当时, 就是,不成立.故选D.
5.解析:正三棱柱的侧面展开图如图所示的矩形，
矩形的长为，宽为，则其对角线AA1 的
长为最短路程. 因此蚂蚁爬行的最短路程为
. 故选A.
6.解析：取，则排除B.
取，则排除D.显然是的零点，,排除C.故选A.
或：根据函数定义域及函数极值点判定.
极值点是，时单减，且时，.故选A.
7.解析：本题主要考查几何概型与数学文化.
设大正方形边长为5,由知对边等于3，邻边等于4，
数学试题（文）答案（共8页）第1页
所以小正方形的边长为1，面积等于S=1,.故选D.
8.解析：本题主要考查程序框图，循环结构，根据结果找条件.
根据框图，，故选B.
9.解析：因为
所以函数在上的最大值是故选C.
10.解析：本题主要考查导数的几何意义及直线与圆的位置关系.
,所以圆心（2,0）到的距离是.
所以最小值是.故选C.
11. 解析：本题主要考查三视图问题，由三视图可以看出，该几何体是一个长方体以一个顶点挖去一个八分之一的球体.故选A.
12. 解析：本题主要考查三角函数的图象与性质.
因为函数的最大值是，所以，周期是
所以取
又因为所以取
于是函数的图象向左平移个单位后得到
.在四个选项中A、B、C选项错误.故选D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．
13. 14. 15. 16.
13.解析：本题主要考查平面向量的运算.
14.解析：本题主要考查双曲线的渐近线方程.根据双曲线方程可知其渐近线方程为
数学试题（文）答案（共8页）第2页
.而已知是一条渐近线方程，则有，
15.解析：本题主要考查简单的线性规划问题，
不等式表示区域如图中阴影部分所示，
目标函数为是与
直线平行的直线系，
当直线向上平移时，在增大，
且过点A时达到最大值，由得,从而.
16.解析：本题主要是考查解三角形及平面向量运算的几何意义.
由余弦定理得，,所以.
因此
由题意知，点的轨迹对应图形是边长为的菱形,
于是这个菱形的面积是
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)
解析：（Ⅰ）由题可知，解得，即. ……………3分
所以的通项公式。 ……………4分
前项和. ………6分
数学试题（文）答案（共8页）第3页
（Ⅱ）. ………9分
所以数列的前项和
. ………12分
18．(本小题满分12分)
解析：（Ⅰ）因为，所以平面.
而平面,所以平面平面. ………2分
因为线段的中点为，且
而,
. ，
………5分
（Ⅱ），.，即.又，所以，故，所以.
在三棱柱中，，直线所成角的余弦为，
则在中，，，所以.………7分
在中，，所以.因为，所以点是线段的靠近点的三等分点. ………9分
因为
所以== ………12分
19．(本小题满分12分)
解析：（Ⅰ）用水量在内的频数是50，频率是，
则. ……………2分
数学试题（文）答案（共8页）第4页
用水量在内的频率是，则.
用水量在内的频率是，则.
……………4分
（Ⅱ）估计全市家庭年均用水量为
……………7分
（Ⅲ）设A，B，C，D，E代表年用水量从多到少的5个家庭，从中任选3个，总的基本事件为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD, BCE, BDE, CDE共10个,其中包含A的有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE共6个. …………10分
所以. 即年用水量最多的家庭被选中的概率是
……………12分
20. (本小题满分12分)
解析：（Ⅰ）由题可知，，解得.
故椭圆E的标准方程为. ……………5分
（Ⅱ）解法1：设，直线交轴于点，直线交轴于点.则，即.易知同向，故.
……………7分
因为，，所以得直线的方程为，令
，则；直线的方程为，令，则
所以，为定值. ……………12分
数学试题（文）答案（共8页）第5页
解法2：的左、右顶点分别为、，则有
由（Ⅰ）知，设直线、的斜率分别为，则.…………7分
直线的方程为，令得；直线的方程为
令得.所以. ……………12分
解法3：的左、右顶点分别为、，则……………7分
如题图所示，
. ……………12分
21. (本小题满分12分)
解析：（Ⅰ）由得， .
于是，所以.……… 2分
因为函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线互相垂直，所以，
即
……… 5分
（Ⅱ），.
设函数=（），
则=.
由题设可知≥0，即.令=0得，=，=－2.
（1）若－2＜≤0，则，此时，＜0，，
数学试题（文）答案（共8页）第6页
＞0，即在单调递减，在单调递增，所以在=取
最小值.
而
∴当≥－2时，≥，即恒成立. ……… 8分
②若则，此时
∴在(－2,+∞)单调递增，而=0，∴当≥－2时，≥0，
即恒成立. ……… 10分
③若则，此时=.
∴当≥－2时， 不能恒成立.
综上所述，的取值范围是 ………12分
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
解析：（Ⅰ）由得即.………2分
直线的普通方程为， 被圆截得的弦长为，所以圆心到的距离为，即解得. ………5分
（Ⅱ）法1：当时，将的参数方程代入圆C的直角坐标方程得，
，即，由于，故可设
是上述方程的两实根，所以，故由上式及的几何意义得，==. ………10分
法2：当时点，易知点在直线上. 又，
数学试题（文）答案（共8页）第7页
所以点在圆外.联立消去得，.
不妨设，所以=.
23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
解析：（Ⅰ）就是.
（1）当时，，得.
(2)当时，，得，不成立. ………2分
（3）当时，，得.
综上可知，不等式的解集是.………5分
（Ⅱ）因为，
所以. ………7分
因为，时，，所以，得.
所以. ………10分
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