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文科数学测试
本试卷共4页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，则=
A． B． C． D．
2．已知复数满足（其中为虚数单位），则
A． B． C． D．
3．已知函数的定义域为，则是为奇函数的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
4．某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为
A． B． C． D．
5．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，该几何体的体积为
A． B．
C． D．
6．要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
7．等差数列的前项和为若，则
A．66 B．99 C．110 D．198
8．在中，，
A． B． C． D．
9．如图程序中，输入，则输出的结果为
A． B．
C． D．无法确定
10．抛物线焦点与双曲线一个焦点重合，过点的直线交于点、，点处的切线与、轴分别交于、，若的面积为4，则的长为
A． B． C． D．
11．函数存在唯一的零点，且，则实数的范围为
A． B． C． D．
12．对于实数，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若且，则.
正确的个数为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．实数满足，则的最小值为 ．
14．等比数列的前项和为，，若， 则 ．
15．通常，满分为100分的试卷，60分为及格线．若某次满分为100分的测试卷，100人参加测试，将这100人的卷面分数按照分组后绘制的频率分布直方图如图所示．由于及格人数较少，某位老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以10取整”的方法进行换算以提高及格率（实数的取整等于不超过的最大整数），如：某位学生卷面49分，则换算成70分作为他的最终考试成绩，则按照这种方式，这次测试的及格率将变为 ．
16．在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点到点与到点的距离之比为，已知点，则的最大值为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分
17．（12分）
已知向量.
（1）当时，求的值；
（2）已知钝角中，角为钝角，分别为角的对边，且
，若函数，求的值．
18．（12分）]
近年来，某地区积极践行“绿水青山就是金山银山”的绿色发展理念，2012年年初至2018年年初，该地区绿化面积（单位：平方公里）的数据如下表：
（1）求关于的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2022年年初的绿化面积，并计算2017年年初至2022年年初，该地区绿化面积的年平均增长率约为多少．
（附：回归直线的斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为
）
19．（12分）
如图，在三棱锥中，
，为线段的中点，是线段
上一动点．
（1）当时，求证：面；
（2）当的面积最小时，求三棱锥的体积．
20．（12分）
在直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率存在，纵截距为的直线与椭圆相交于两点，若直线的斜率均存在，求证：直线的斜率依次成等差数列．
21．（12分）
已知函数
（1） 当时，求的单调递减区间；
（2）对任意的，及任意的，恒有成立，求实数的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（10分）
在直角坐标系中，直线的参数方程为：为参数,．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为：．
（1）在直角坐标系中，求圆的圆心的直角坐标；
（2）设点，若直线与圆交于两点，求证：为定值，并求出该定值．
23．（10分）
设函数
（1） 当时，求不等式的解集；
（2）对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围．
文科数学参考答案
一、选择题
1．C 2．A 3．B 4．B 5．A 6．C 7．B 8．D 9．A 10．C 11．A 12．D
二、填空题
13． 14． 15．0.82 16．
三、解答题
17．（1）由得即 ……………3分
……………6分
（2）由正弦定理得
由角为钝角知 ………………9分
………………12分
18．（1）， ， ………………4分
线性回归方程为 ………………6分
（2）将2022年年号11代入，预测绿化面积为7.8平方公里 ………………9分
设年平均增长率为x，则，，
年平均增长率约为8.4%. ………………12分
19．（1）直角中，，
中，由知 ………………3分
∴，又面，∴面 ………………6分
（2）等腰直角中，由D为AC中点知，
又由，，知面
由面 ∴
又，知面
由面 ∴，
即为直角三角形 ………………9分
∴最小时，的面积最小
过点D作PC的垂线时，当E为垂足时，DE最小为
∴ ………………12分
20．（1）由知 …………………5分
（2）设，代入知
设，则， ………………7分
∴直线的斜率依次成等差数列。 ………………12分
21．（1）, ………………2分
∴的递减区间为 ………………4分
（2）
由知 ∴在上递减 ………………8分
∴，
对恒成立，∴ ………………12分
22．（1）圆，圆心坐标C ………………5分
（2） 将 代入
∴
设点所对应的参数为则
∴ ………………10分
23．（1）当时，
当时
当时
当时
综上: ………………5分
（2）
………………10分
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