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理科数学测试
本试卷共4页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则
A． B． C． D．
2．若复数满足（为虚数单位），为的共轭复数，则
A． B．2 C． D．3
3．在矩形中，，若向该矩形内随机投一点，那么使得与的面积都不小于2的概率为
A． B． C． D．
4．已知函数为偶函数，且在单调递减，则的解集为
A． B． C． D．
5．已知双曲线的离心率为，则的值为
A．1 B． C．1或 D．-1
6．等比数列的前项和，前项和，前项和分别为，则
A． B． C． D．
7．执行如图所示的程序框图，若输入，输出的，则空白判断框内应填的条件为
A． B． C． D．
8．将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，在图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为
A． B． C． D．
9．在的展开式中，含项的系数是
A．119 B．120 C．121 D．720
10．我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈．刍，草也；甍，屋盖也．”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形．则它的体积为
A． B． C． D．
11．已知椭圆，直线与轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，点在直线上，则“//轴”是“直线过线段中点”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．下列命题为真命题的个数是
①； ②； ③； ④
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．平面向量与的夹角为，，则__________．
14．已知实数满足约束条件，且的最小值为3，则常数__________．
15．考虑函数与函数的图像关系，计算：__________．
16．如图所示，在平面四边形中，，， 为正三角形，则面积的最大值为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
若数列的前项和为，首项且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和．
18．（12分）
如图，四边形与均为菱形，，且．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19．(12分)
某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准，用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为此，政府调查了100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，
分组的频率分布直方图如图所示．
（1）根据频率分布直方图的数据，求直方图中的值并估计该市每户居民月平均用电量的值；
（2）用频率估计概率，利用（1）的结果，假设该市每户居民月平均用电量服从正态分布
（ⅰ）估计该市居民月平均用电量介于度之间的概率；
（ⅱ）利用（ⅰ）的结论，从该市所有居民中随机抽取3户，记月平均用电量介于 度之间的户数为，求的分布列及数学期望．
20．（12分）
如图，圆，，为圆上任意一点，过作圆的切线分别交直线和于两点，连交于点，若点形成的轨迹为曲线.
（1）记斜率分别为，求的值并求曲线的方程；
（2）设直线与曲线有两个不同的交点，与直线交于点，与直线交于点，求的面积与面积的比值的最大值及取得最大值时的值．
21．(12分)
已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）求函数在区间上零点的个数．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）
已知直线的参数方程为（为参数，），曲线的极坐标方程为.
（1）分别将直线的参数方程和曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线经过点，求直线被曲线截得线段的长．
23．［选修4—5：不等式选讲］（10分）
已知函数
（1）解不等式；
（2）若方程在区间有解，求实数的取值范围．
理科数学参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
A
D
B
C
D
B
A
B
A
A
C
13． 14． 15． 16．
【提示】
11．若轴；不妨设与轴交于点，过作交直线于点
则：，两次相除得：
又由第二定义：为的中点
反之，直线AB斜率为零，则BC与x轴重合
12．构造函数求导分析单调性可知①③④正确（注：构造函数也可）
16．设，由余弦定理可知：，
又由正弦定理：
所以最大值为
17．（1）或；（2）．
解析：（1）当时，，则
当时，，
即或
或 …………………………6分
（2）由，，
………………12分
18．（1）见解析；（2）．
解析：（1）设与相交于点，连接，
∵四边形为菱形，∴，且为中点，
∵，∴,
又，∴平面.…………………5分
（2）连接，∵四边形为菱形，且，∴为等边三角形，
∵为中点，∴，又，∴平面.
∵两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图所示，………7分
设，∵四边形为菱形， ，∴.
∵为等边三角形，∴.
∴，
∴.
设平面的法向量为，则，
取，得.设直线与平面所成角为，………10分
则. …………………12分
注：用等体积法求线面角也可酌情给分
19．（1）；（2）（ⅰ）（ⅱ）分布列见解析，
解析：（1）由得
………………2分
…………………4分
（2）（ⅰ） ……………6分
（ⅱ）因为，，.
所以的分布列为
所以. …………………………12分
20．（1），；（2） ，取得最大值．
解析：（1）设，
易知过点的切线方程为，其中
则，…………3分
设，由
故曲线的方程为 …………………5分
（2），
设，则， …………………7分
由且 ……………8分
与直线交于点，与直线交于点
，令且
则……………10分
当，即时，取得最大值.…………………12分
21．（1）见解析；（2）见解析.
解析：（1） ……………1分
当时，，此时在单调递增； ……………2分
当时，
①当时，，恒成立，，此时在单调递增；……3分
②当时，令
＋
0
－
0
＋
即在和上单调递增；在上单调递减； ……5分
综上：当时，在单调递增；
当时，在和上单调递增；
在上单调递减； …………………6分
（2）由（1）知，
当时，在单调递增，，此时在区间上有一个零点；
当时，且，在单调递增；，此时在区间上有一个零点；
当时，令（负值舍去）
①当即时，在单调递增，，此时在区间上有一个零点；
②当即时
若即时，在单调递增，在单调递减，，此时在区间上有一个零点；
若即时，在单调递增，在单调递减，，此时在区间上有零点和在区间有一个零点共两个零点；
综上：当时，在区间上有2个零点；
当时，在区间上有1个零点. …………………12分
22．（1），；（2）8.
解析：（1）显然 …………………2分
由可得，即， …………………5分
（2）直线 过，则
将直线的参数方程代入得，
由直线参数方程的几何意义可知，
. …………………10分
注：直接用直角坐标方程联立计算也可
23．（1）；（2）.
解析：（1）可化为
或或；
或或；
不等式的解集为； …………………5分
（2）由题意：
故方程在区间有解函数和函数图象在区间上有交点
当时，
…………………10分
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