北京市石景山区2019届高三3月统一测试（一模）数学（文）试题含答案.doc

www.ks5u.com ‎2019年石景山区高三统一测试 数 学（文）‎ 本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1. 已知集合，，则下列关系中正确的是 A. P＝Q ‎ B. PQ C. QP D. ‎ ‎2.‎ 设是虚数单位，若复数，则复数的模为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎3.‎ 某几何体的三视图如右图所示，该几何 体的体积为 A. 2‎ B. 4‎ C. 6‎ D. 12‎ ‎4.‎ 若，则下列各式中一定正确的是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎5.‎ 中国南宋时期的数学家秦九韶提出了 一种多项式简化算法，右图是实现该算法的程序框图，如输入的 ‎，依次输入的为1，2，3，运行程序，输出的的值为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎6.‎ 已知平面向量，则是与同向的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎7.‎ 已知，则 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎8. 当时，下列关于函数的图象与的图象交点个数 说法正确的是 A. 当时，有两个交点 B. 当时，没有交点 C. 当时，有且只有一个交点 D. 当时，有两个交点 第二部分（非选择题共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9.‎ 在平面直角坐标系中，角和角均以为始边，它们的终边关于轴对称.‎ 若，则=__________．‎ ‎10.‎ 若变量满足约束条件则的最小值为_________.‎ ‎11.‎ 已知抛物线的准线为，与双曲线的渐近线分别交于 两点．若，则______ ．‎ ‎12.‎ 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用表示 解下个圆环所需的最少移动次数，已知，‎ n为偶数 n为奇数 ‎ ，则解下个圆环所需的最少移动次数为______．‎ ‎13.‎ 已知集合，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集 与集合有且只有一个公共元素，这个不等式可以是______________．‎ ‎14.‎ 在直角坐标系中，点和点是单位圆上两点，‎ ‎，则=______；的最大值为 _ ．‎ 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15. （本小题13分）‎ 设数列的前项和为，若且（，）． ‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．‎ ‎16.（本小题13分）‎ 在中，角的对边分别为，，，．‎ ‎（Ⅰ）求的值； ‎ ‎（Ⅱ）求的面积．‎ ‎17. （本小题14分）‎ 如图，在四棱锥中，平面平面，且四边形为矩形．，，，分别为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅲ）在线段求一点，使得，并求出的值．‎ ‎18. （本小题13分）‎ 已知某单位全体员工年龄频率分布表为:‎ 年龄（岁）‎ ‎[25, 30）‎ ‎[30, 35）‎ ‎[35, 40）‎ ‎[40, 45)‎ ‎[45, 50）‎ ‎[50, 55）‎ 合计 人数（人）‎ ‎6‎ ‎18‎ ‎50‎ ‎31‎ ‎19‎ ‎16‎ ‎140‎ 经统计，该单位35岁以下的青年职工中，男职工和女职工人数相等，且男职工的年龄频率分布直方图和如下：‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求该单位男女职工的比例；‎ ‎（Ⅲ）若从年龄在[25，30）岁的职工中随机抽取两人参加某项活动，求恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率．‎ ‎19.（本小题13分）‎ 设函数，．‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线与轴平行，求；‎ ‎（Ⅱ）当时，函数的图象恒在轴上方，求的最大值．‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为，右顶点在直线:上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点是椭圆上异于，的点，直线交直线于点，当点运动时，判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．‎ ‎2019年石景山区高三统一测试 数学（文）试卷答案及评分参考 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分． ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 C B C D D C A B 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． ‎ ‎9．； 10．； 11．； ‎ ‎12．； 13． ；（答案不唯一） 14． ，．‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题13分）‎ 解：（Ⅰ）因为（，）， ‎ ‎ 所以（，）． ‎ ‎ 又因为，‎ ‎ 所以（）． ‎ ‎ 所以． ‎ ‎ （Ⅱ）， ‎ ‎ 所以． ‎ ‎16．（本小题13分）‎ 解：(Ⅰ)在中，，‎ ‎ ∴， ‎ ‎∵，，‎ 由正弦定理得， ‎ ‎∴． ‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理得， ‎ ‎∴，‎ 解得或（舍） ‎ ‎∴ ‎ ‎． ‎ ‎17．（本小题14分）‎ ‎（Ⅰ）证明：在矩形中，∥， ‎ ‎∵分别为的中点，‎ ‎∴∥，且， ‎ ‎∴∥， ‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴∥平面． ‎ ‎（Ⅱ）证明：在矩形中，，‎ 又∵，‎ ‎∴，又 ‎∴平面， ‎ 又 ‎ ‎∴平面， ‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面平面． ‎ ‎（Ⅲ）解：作于， ‎ ‎∵平面，‎ 且平面，‎ ‎∴， ‎ ‎∵分别为的中点，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴平面， ‎ ‎∵平面，‎ ‎∴， ‎ ‎∵矩形平面，且平面平面，‎ ‎∴平面， ‎ ‎∴平面， ‎ 在直角三角形中，，，可求得． ‎ ‎18．（本小题13分）‎ 解：（Ⅰ）由男职工的年龄频率分布直方图可得： ‎ ‎ ．‎ ‎ 所以． ‎ ‎（Ⅱ）该单位[25, 35)岁职工共24人，由于[25, 35)岁男女职工人数相等，所以[25, 35)岁的男职工共12人． ‎ ‎ 由（Ⅰ）知，男职工年龄在[25, 35)岁的频率为，‎ ‎ 所以男职工共有人， ‎ ‎ 所以女职工有人， ‎ ‎ 所以男女比例为∶． ‎ ‎（Ⅲ）由男职工的年龄频率分布直方图可得：男职工年龄在[25, 30)岁的频率为．‎ ‎ 由（Ⅱ）知，男职工共有80人，所以男职工年龄在[25, 30)岁的有4人，分别记为． ‎ ‎ 又全体员工年龄在[25, 30)岁的有6人，所以女职工年龄在[25, 30)岁的有2人，分别记为． ‎ ‎ 从年龄在25~30岁的职工中随机抽取两人的结果共有 种情况， ‎ ‎ 其中一男一女的有 种情况， ‎ ‎ 所以恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率为． ‎ ‎19．（本小题13分）‎ 解：（Ⅰ），‎ ‎， ‎ ‎，‎ 由题设知，即，解得． ‎ 经验证满足题意。‎ ‎（Ⅱ）方法一： ‎ 令，即，则， ‎ ‎（1）当时，即 对于任意有，故在单调递减； ‎ 对于任意有，故在单调递增，‎ 因此当时，有最小值为成立． ‎ ‎（2）当时，即 对于任意有，故在单调递减， ‎ 所以．‎ 因为的图象恒在轴上方，‎ 所以，‎ 因为，所以，即， ‎ 综上，的最大值为． ‎ 方法二：由题设知，当时，， ‎ ‎（1）当时，． ‎ 设，则， ‎ 故在单调递减，‎ 因此，的最小值大于，所以. ‎ ‎（2）当时，成立． ‎ ‎（3）当时，，‎ 因为，所以当时成立． ‎ 综上，的最大值为． ‎ ‎ ‎ ‎20．（本小题14分）‎ 解：（Ⅰ）依题可知， ‎ ‎ 因为 ，‎ 所以 ‎ 故椭圆的方程为． ‎ ‎（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切． ‎ 证明如下：由题意可设直线的方程为．‎ 则点坐标为，中点的坐标为， ‎ 由得 ‎． ‎ 设点的坐标为，则．‎ 所以，． ‎ 因为点坐标为，‎ ① 当时，点的坐标为，直线的方程为，‎ 点的坐标 为．‎ 此时以为直径的圆与直线相切． ‎ ② 当时，直线的斜率．‎ 所以直线的方程为,即． ‎ 故点到直线的距离 ‎ ‎ ‎（或直线的方程为,‎ 故点到直线的距离 ‎）‎ 又因为 ，故以为直径的圆与直线相切．‎ 综上得，当点运动时，以为直径的圆与直线相切． ‎ 解法二:‎ ‎（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切． ‎ 证明如下: 设点,则 ① 当时,点的坐标为，直线的方程为， ‎ 点的坐标为， ‎ 此时以为直径的圆与直线相切， ‎ ② 当时直线的方程为， ‎ 点D的坐标为,中点的坐标为,故 ‎ 直线的斜率为, ‎ 故直线的方程为,即, ‎ 所以点到直线的距离 ‎ 故以为直径的圆与直线相切．‎ 综上得，当点运动时，以为直径的圆与直线相切． ‎ ‎【若有不同解法，请酌情给分】‎